この問題のテーマ・前提知識
- テーマ: 重回帰モデルの選択基準（自由度調整済み決定係数・F値のP値）と予測値の計算
- 前提知識: 自由度調整済み決定係数 \(\bar{R}^2\) の意味（1に近いほど良い） / F検定におけるP値の見方（0に近いほど良い） / 重回帰モデルへの数値代入による予測
問題の概要
3つの重回帰モデルの適合度指標（自由度調整済み決定係数・F値・P値）が表で与えられ、[1] 最も適切なモデルを選択する。[2] 選択したモデルの式に \(x=20\)・\(x=23\) を代入し、予測値を求める。
解説
解法の方針：[1] 自由度調整済み決定係数が最大かつF値のP値が最小のモデルを選ぶ。[2] 選択したモデル3の回帰式に数値を代入して予測値を計算する。
[1]
自由度調整済み決定係数 \(\bar{R}^2\) は 1 に近い方が良く、\(F\) 値に対する \(P\) 値は 0 に近い方が良い。
従って、モデル 3 が選択される。
[2]
モデル 3 の式は、
\[y=15.406875-3.380727x+0.578985x^2-0.019017x^3\]
であるから、
\[x=20のとき、y\approx 27.3\]
\[x=23のとき、y\approx 12.6\]
となる。
よくある質問
Q. 自由度調整済み決定係数とふつうの決定係数の違いは何ですか？
通常の決定係数 \(R^2\) は説明変数を増やすだけで必ず上がるため、モデル比較には不適切。自由度調整済み決定係数 \(\bar{R}^2\) は変数追加によるペナルティを加味しており、説明変数の数が異なるモデル同士を公平に比較できる。準1級ではモデル選択の基準として頻出。
Q. F値のP値はどう解釈すればよいですか？
重回帰のF検定は「全ての回帰係数が0である」という帰無仮説を検定する。P値が小さいほど帰無仮説が棄却されやすく、モデル全体として説明力があることを示す。P値が0に近いほど「そのモデルは意味のある回帰をしている」と判断できる。
Q. モデル選択で \(\bar{R}^2\) とP値の結論が食い違う場合はどうしますか？
実務では \(\bar{R}^2\)・P値・AICなど複数の指標を総合的に見る。本問のようにどちらも同じモデルを指す場合は迷わず選択できる。指標が食い違う場合は問題文の指示（「〇〇を基準に選べ」）に従うのが試験対策上の基本方針。
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