この問題のテーマ・前提知識
- テーマ: 回帰診断図（Diagnostic Plots）の読み方・モデル比較・残差の可視化
- 前提知識: 単回帰・重回帰モデルの残差の定義（残差 = 実測値 − 予測値）/ 残差プロット・Normal Q-Qプロット・Scale-Locationプロット・Residuals vs Leverageプロットそれぞれの目的 / 梃子値（Leverage）と影響力の違い / 対数変換による線形化
問題の概要
各国の平均寿命データを用いた2種類の回帰モデル（線形モデルと説明変数を対数変換したモデル）について、Rの回帰診断図4種類を読み取る問題。[1] 線形モデルの診断図から特定の観測点の実測値を計算する小問と、4つの診断図の解釈の正誤を判定する小問からなる。[2] 対数変換モデルの診断図と比較し、残差の改善を読み取る小問・特定の観測点を特定する小問・残差の箱ひげ図を作図する小問からなる。
解説
解法の方針：[1] 「残差 = 実測値 − 予測値」の関係を使って残差プロットから実測値を逆算し、各診断図が何を確認するための図かを正確に把握する。[2] 2つのモデルの残差プロットを比較してばらつきの改善を確認し、実測値・予測値・残差の関係から特定の観測点を同定する。箱ひげ図は最小値・第1四分位・中央値・第3四分位・最大値の5数要約で描く。
[1]
（１）
図1はモデル1（\(y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon\)）の回帰診断図である。
表より、USA（アメリカ合衆国）の実際の平均寿命 \(y\) は 78.8 である。
図1の「(ア) Residuals vs Fitted（予測値に対する残差のプロット）」を見ると、USAを表す点「29」の位置は以下のようになっている。
- 横軸（Fitted values = 予測値 \(\hat{y}\)）：約 84.2
- 縦軸（Residuals = 残差 \(e\)）：約 -5.4
実際の値 \(y\)、予測値 \(\hat{y}\)、残差 \(e\) の間には \(y = \hat{y} + e\) の関係が成り立つ。
\(84.2 + (-5.4) = 78.8\) となり、実際の平均寿命と一致する。
従って、正解は ③ である。
（２）
① 適切：残差プロット(ア)において点がランダムに散らばらず、U字型などのパターンが見られる場合は、線形性の仮定が満たされていない（非線形な関係がある）と判断できる。
② 適切：残差プロット(ア)の縦軸（残差）の絶対値が極端に大きい点は、モデルから大きく外れた外れ値として検出できる。
③ 適切：Normal Q-Qプロット(イ)は、残差が正規分布に従うかを視覚的に確認する図である。点が直線上に乗っていれば正規性が仮定できる。
④ 適切：Scale-Locationプロット(ウ)は、予測値の大きさによって残差のばらつきが変化しないか（等分散性）を確認する図である。赤い平滑化線が水平で、点が均等に散らばっていれば等分散性が仮定できる。
⑤ 不適切：Residuals vs Leverageプロット(エ)における横軸の「梃子値（Leverage）」は、その観測値が説明変数の空間においてどれだけ外れているか（中心から遠いか）を示す。梃子値が大きい観測値ほど、回帰直線を引き寄せる力が強くなるため、モデルへの影響力が大きいと判断される。よって、「梃子値の小さい観測値ほど〜」とするこの記述は誤りである。
[2]
（１）
決定係数 \(R^2\) はモデルの当てはまりの良さを示す指標であり、残差平方和が小さいほど 1 に近づく。
図 1 (ア)の残差はおおよそ -6 から +4 の範囲に散らばっているのに対し、対数変換を施した図 2 (ア)の残差は -4 から +3 程度の範囲に収まっており、全体的に残差の絶対値が小さくなっていることが視覚的に確認できる。
（２）
表より、JPN（日本）の平均寿命 \(y\) は 83.4、ESP（スペイン）の平均寿命 \(y\) は 83.2 である。
残差プロット(ア)における任意の点について、「横軸の値（予測値 \(\hat{y}\)）＋ 縦軸の値（残差 \(e\)）＝ 実際の値 \(y\)」が成り立つ。
点24（ESP）の位置を見ると、横軸が約 80.5、縦軸が約 2.7 であり、合計すると 80.5 + 2.7 = 83.2 となる。
JPNは実際の値が 83.4 であり、ESPの 83.2 に非常に近い。
図 2 (ア)を見ると、点24と同じような予測値（横軸位置）で、残差（縦軸）が少しだけ大きい点が存在する（横軸 \(\approx 80.5\)、縦軸 \(\approx 2.9\)）。
この点が \(y \approx 83.4\) を満たすJPNのデータ点であると特定できる。
（３）
箱ひげ図は以下のルールに従って描く。
- 箱の両端：第 1 四分位数から第 3 四分位数までを箱で囲む。
- 箱の中の線：中央値の位置に線を引く。
- ひげ：箱の両端から最小値および最大値まで線を伸ばす（問題文の指示通り、外れ値の処理はせず最大・最小まで伸ばす）。
2つのモデルを並べて描くことで、モデル2の方がヒゲの下端（最小値の絶対値）が小さくなり、箱の幅（四分位範囲）などを含めた全体のばらつきが若干抑えられていることを視覚的に示すことができる。
よくある質問
Q. 4つの回帰診断図それぞれで何を確認するのですか？
（ア）Residuals vs Fitted：残差に系統的なパターンがないかで線形性・等分散性を確認する。（イ）Normal Q-Q：残差の正規性を確認する。直線上に乗っていれば正規性OK。（ウ）Scale-Location：標準化残差の絶対値の平方根をプロットし、等分散性を確認する。（エ）Residuals vs Leverage：影響力の大きい外れ値（Cook距離が大きい観測点）を検出する。
Q. 梃子値（Leverage）と影響力（Cook距離）の違いは何ですか？
梃子値は説明変数空間における「外れ具合」を示す指標で、大きいほど回帰直線を引き寄せる潜在的な力が強い。Cook距離はその観測点を除外したときに回帰係数がどれだけ変わるかを表す「実際の影響力」の指標。梃子値が大きくても残差が小さければCook距離は小さい場合もある。
Q. 対数変換するとなぜ回帰診断図が改善するのですか？
説明変数と目的変数の関係が実際には対数的（非線形）である場合、線形モデルでは残差に系統的なパターンが残る。対数変換により関係を線形化すると、残差のばらつきが小さくなり等分散性・正規性の仮定が満たされやすくなる。決定係数 \(R^2\) の改善もこの効果を反映している。
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