この問題のテーマ・前提知識
- テーマ: プロビット・モデル（二値応答変数の回帰）・トービット・モデル（切断データの回帰）
- 前提知識: 標準正規分布の累積分布関数 \(\Phi(\cdot)\) と密度関数 \(\phi(\cdot)\) の関係 / 限界効果の定義 / 最尤推定・対数尤度 / AIC（赤池情報量基準）の計算式
問題の概要
2つの大問からなる。[1] 平均気温・日照時間を説明変数とするプロビット・モデルを用いて、指定された気象条件下での積雪確率の推定値と、各説明変数の限界効果を求める。[2] 積雪量（非負の連続値）を被説明変数とするトービット・モデルについて、尤度関数を構成し、AICを使って最適な変数の組み合わせを選択する。
解説
解法の方針：[1] プロビット・モデルの定義式に推定値を代入して \(\Phi\) の値を読み取り、積雪確率を求める。次に \(\phi\) を使った偏微分の公式で限界効果を計算する。[2] 積雪なし（\(Z=0\)）と積雪あり（\(Z>0\)）で尤度の形が異なることを踏まえて式を立て、AICの最小値を与える変数セットを特定する。
[1]
プロビット・モデルは、ある事象が「起きるか・起きないか」という二値（\(Y=1\) または \(0\)）を予測するモデルである。
(1) 積雪確率の推定値
平均気温 \(X_1 = 1\)、日照時間 \(X_2 = 1\) のときの積雪確率 \(P(Y=1)\) を求める。
モデル式は以下の通りである。
\[P(Y=1 \mid X_1, X_2) = \Phi(\alpha_0 + \alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2)\]
ここで、\(\Phi(\cdot)\) は標準正規分布の累積分布関数である。
推定値 \(\hat{\alpha}_0 = -0.958,\ \hat{\alpha}_1 = -0.265,\ \hat{\alpha}_2 = -0.246\) を代入すると、
\[\hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1(1) + \hat{\alpha}_2(1) = -0.958 – 0.265 – 0.246 = -1.469\]
となる。
従って、求める確率は、
\[P(Y=1 \mid X_1=1, X_2=1) = \Phi(-1.469)\]
となる。
標準正規分布表や問題文のヒントに基づくと、この値は約 0.071 となる。
つまり、気温も日照も高い日は、雪が降る確率は約 7 %と極めて低いことがわかる。
(2) 限界効果（Marginal Effect）
限界効果とは、説明変数が「1単位」変化したときに、確率がどれだけ変化するかを示す指標である。
平均気温 \(X_1\) に関する限界効果は、以下の微分で計算できる。
\[\frac{\partial P(Y=1 \mid X_1, X_2)}{\partial X_1} = \phi(\alpha_0 + \alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2) \cdot \alpha_1\]
ここで、\(\phi(\cdot)\) は標準正規分布の確率密度関数である。
\(X_1=0, X_2=0\) のとき、\(\phi(\hat{\alpha}_0) = 0.252\) と与えられているため、
- 気温の限界効果：\(0.252 \times (-0.265) \approx -0.067\)
- 日照時間の限界効果：\(0.252 \times (-0.246) \approx -0.062\)
これは、気温が 1 ℃上がると積雪確率が約 6.7 %下がることを意味している。
[2]
積雪量 \(Z\) は、マイナスの値をとることがない。このように、ある値（ここでは0）でデータが「切断」されている場合に適しているのがトービット・モデルである。
(1) 尤度関数の構成
トービット・モデルの尤度関数 \(L\) は、「積雪がない場合（\(Z=0\)）」の確率密度と、「積雪がある場合（\(Z>0\)）」の確率密度の積で構成される。
潜在変数 \(Z^* = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon\)（ただし \(\epsilon \sim N(0, \sigma^2)\)）を想定すると、尤度関数は以下のようになる。
\[L(\beta, \sigma^2) = \prod_{t:\, z_t=0} \Phi\!\left(-\frac{\beta_0 + \beta_1 x_{t1} + \beta_2 x_{t2}}{\sigma}\right) \times \prod_{t:\, z_t > 0} \frac{1}{\sigma} \phi\!\left(\frac{z_t – (\beta_0 + \beta_1 x_{t1} + \beta_2 x_{t2})}{\sigma}\right)\]
- 左側の \(\prod\)：雪が降らない確率（累積分布関数 \(\Phi\) を使用）
- 右側の \(\prod\)：雪が降った時の具体的な量の分布（密度関数 \(\phi\) を使用）
(2) AICによるモデル選択
AIC（赤池情報量基準）を用いて、どの変数の組み合わせが最も適切かを判断する。
\[\text{AIC} = -2 \times (\text{最大対数尤度}) + 2 \times (\text{自由パラメータ数})\]
AICは値が小さいほど、モデルとしての適合度と簡潔さのバランスが良いとされる。
表からAICを計算（または確認）すると、以下の結果が得られる。
- 日照時間＋平均気温：\(\text{AIC} \approx 344.992\)
- 日照時間＋平均気温＋最高気温：\(346.608\)
- 日照時間＋平均気温＋最低気温：\(343.130\)（最小）
- 日照時間＋平均気温＋最低気温＋最高気温：\(344.322\)
したがって、「日照時間 ＋ 平均気温 ＋ 最低気温」の3つの変数を用いたモデルが、AICの観点から最も優れていると言える。
よくある質問
Q. プロビット・モデルとロジット・モデルの違いは何ですか？
どちらも二値応答変数を扱うモデルだが、リンク関数が異なる。プロビット・モデルは標準正規分布の累積分布関数 \(\Phi\) を使い、ロジット・モデルはロジスティック関数（シグモイド関数）を使う。実用上の予測精度はほぼ同等で、日本の統計検定では限界効果の計算に \(\phi\) を使うプロビット・モデルが頻出。
Q. トービット・モデルの尤度関数で \(\Phi\) と \(\phi\) を使い分ける理由は？
\(Z=0\) の観測は「積雪なし」という離散的な事象であり、その確率は \(\Phi\) で表す。一方、\(Z>0\) の観測は連続的な積雪量であり、その確率密度は \(\phi\) で表す。この2種類を混在させる尤度関数の構造がトービット・モデルの核心で、普通の線形回帰では \(Z=0\) の情報を正しく扱えない。
Q. AICでモデルを選ぶとき、パラメータ数はどう数えますか？
トービット・モデルでは、回帰係数（切片＋説明変数の個数分）に加えて誤差分散 \(\sigma^2\) も推定するパラメータに含める。例えば説明変数が2個なら自由パラメータは \(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \sigma^2\) の計4個となり、\(2k = 8\) がAICのペナルティ項になる。
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