【統計検定準１級】2021年6月選択問題及び部分記述問題問1【解答例・解説】

この問題のテーマ・前提知識

テーマ: 条件付き確率・確率の加法定理・包除原理（3事象）
前提知識: 乗法定理 \(P(A \cap B) = P(A|B)P(B)\) / 加法定理 \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)

問題の概要

2つの小問からなる。[1] 2事象 \(A, B\) の和事象の確率と条件付き確率が与えられ、乗法定理を使って \(P(B)\) を求める。[2] 3事象 \(A, B, C\) の各確率・積確率が与えられ、包除原理を用いて \(P(A \cup B \cup C)\) を求める。

解説

解法の方針：[1] \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A|B)P(B)\) に数値を代入し \(P(B)\) について解く。[2] 3事象の包除原理 \(P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(C \cap A)+P(A \cap B \cap C)\) に各値を代入する。

[1]

\begin{eqnarray}
P(A\cup B) &=& P(A) + P(B) – P(A\cap B) \\
&=& P(A) + P(B) – P(A|B)P(B) \\
\end{eqnarray}

であり、与えられた値を代入すると、

\[0.65=0.45+P(B)-0.5×P(B)\]

より、\(P(B)=0.4\) が得られる。

[2]

\begin{eqnarray}
P(A\cup B\cup C) &=& P(A) + P(B) + P(C) – P(A\cap B) – P(B\cap C) – P(C\cap A) + (A\cap B\cap C)
\end{eqnarray}

であり、与えられた値を代入すると、

\[0.45+0.4+0.45-0.2-0.2-0.1+0.05=0.85\]

が得られる。

よくある質問

Q. 乗法定理と条件付き確率はどう組み合わせて使いますか？

\(P(A \cap B) = P(A|B)P(B)\) を使い、\(P(A \cup B)\) に代入するのが典型的な流れ。「条件付き確率が与えられている → 乗法定理で交差確率に変換 → 加法定理に代入」の順で考える。

Q. 3事象の包除原理における符号の覚え方は？

\(P(A \cup B \cup C) = \Sigma P(\text{1事象}) – \Sigma P(\text{2事象の積}) + P(\text{3事象の積})\) で「1→2→3」の順に+・−・+と交互になる。項の数は \(C(3,1)+C(3,2)+C(3,3)=7\) 個。

Q. \(P(A \cap B \cap C)=0\) のとき包除原理はどう変わりますか？

最後の項がゼロになるだけで、基本の形は変わらない。3事象が同時には起こらないが、2事象の積は残る可能性がある点に注意。

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