この問題のテーマ・前提知識
- テーマ: 時系列・MA(1)・AR(1)・AR(2)・自己相関・スペクトル密度
- 前提知識: 自己共分散関数 \(\gamma(h)\) / 自己相関関数 \(\rho(h)\) / スペクトル密度関数の定義 / ユール-ウォーカー方程式
問題の概要
時系列モデルに関する4小問。[1] MA(1)モデル（係数0.8）のコレログラムとスペクトル密度を求める。[2] AR(1)モデル（係数\(-0.8\)）のコレログラムとスペクトル密度を求める。[3] MA(1)の長期分散 \(\lim nV(\bar{y}_n)/V(y_t)\) を計算する。[4] AR(2)モデルのユール-ウォーカー方程式からパラメータ \(a_1, a_2\) を推定する。
解説
解法の方針：[1] MA(1)では \(\gamma(1)=b_1\sigma^2\) のみ非ゼロ。\(\rho(1)>0\)、\(\rho(h)=0\)（\(h \ge 2\)）。スペクトル密度は \(\lambda=0\) で最大。[2] AR(1)では \(\rho(h)=a_1^h\)。係数が負なので正負交互に減衰。スペクトル密度は \(\lambda=\pm\pi\) で最大。[3] \(\lim nV(\bar{y})=\gamma(0)+2\gamma(1)\) を計算して \(\gamma(0)\) で割る。[4] ユール-ウォーカー方程式 \(\rho(h)=a_1\rho(h-1)+a_2\rho(h-2)\) に \(h=1,2\) を代入して連立方程式を解く。
[1]
与えられたモデルは \(y_t = \epsilon_t + 0.8\epsilon_{t-1}\) である。
◼︎コレログラム \(\rho(h)\)
MA(1) モデル \(y_t = \epsilon_t + b_1\epsilon_{t-1}\) において、自己共分散関数 \(\gamma(h)\) は以下のようになる。
- \(\gamma(0) = Var(\epsilon_t + b_1\epsilon_{t-1}) = (1 + b_1^2)\sigma^2 = (1 + 0.8^2)\sigma^2 = 1.64\sigma^2\)
- \(\gamma(1) = Cov(\epsilon_t + 0.8\epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-1} + 0.8\epsilon_{t-2}) = 0.8\sigma^2\)
- \(\gamma(h) = 0 \quad (h \ge 2)\)
自己相関関数は \(\rho(h) = \frac{\gamma(h)}{\gamma(0)}\) であるから、
- \(\rho(1) = \frac{0.8}{1.64} \approx 0.488 > 0\)
- \(\rho(h) = 0 \quad (h \ge 2)\)
この時点で、グラフの選択肢は ① または ② に絞られる。
◼︎スペクトル密度関数 \(f(\lambda)\)
スペクトル密度関数は次のように計算される。
\[f(\lambda) = \frac{\sigma^2}{2\pi} |1 + 0.8e^{-i\lambda}|^2 = \frac{\sigma^2}{2\pi} (1 + 0.8^2 + 2 \cdot 0.8 \cos \lambda) = \frac{\sigma^2}{2\pi} (1.64 + 1.6 \cos \lambda)\]
- \(\lambda = 0\) のとき、\(\cos 0 = 1\) より \(f(0)\) は 最大値 をとる。
- \(\lambda = \pm\pi\) のとき、\(\cos(\pm\pi) = -1\) より \(f(\lambda)\) は 最小値 をとる。
グラフ ① は \(\lambda=0\) でピーク、グラフ ② は \(\lambda=0\) で谷となっているため、適切なのは ① である。
[2]
与えられたモデルは \(y_t = -0.8y_{t-1} + \epsilon_t\) である。
◼︎コレログラム \(\rho(h)\)
AR(1) モデル \(y_t = a_1 y_{t-1} + \epsilon_t\) において、自己相関関数は \(\rho(h) = a_1^h\) となる。
本問では \(a_1 = -0.8\) であるため、
- \(\rho(1) = -0.8\)
- \(\rho(2) = (-0.8)^2 = 0.64\)
- \(\rho(3) = (-0.8)^3 = -0.512\)このように、正負が交互に入れ替わりながら減衰する。この特徴を持つのはグラフ ③ または ④ である。
◼︎スペクトル密度関数 \(f(\lambda)\)
スペクトル密度関数は以下の通りである。
\[f(\lambda) = \frac{\sigma^2}{2\pi} \frac{1}{|1 – (-0.8)e^{-i\lambda}|^2} = \frac{\sigma^2}{2\pi} \frac{1}{1.64 + 1.6 \cos \lambda}\]
分母に注目すると、\(\cos \lambda\) が大きいほど \(f(\lambda)\) は小さくなる。
- \(\lambda = 0\) のとき、分母が最大となるため \(f(0)\) は 最小値 となる。
- \(\lambda = \pm\pi\) のとき、分母が最小となるため \(f(\lambda)\) は 最大値 となる。
グラフ ③ は両端（\(\pm\pi\)）で高く中央で低いため、適切なのは ③ である。
[3]
求める値は \(\lim_{n \to \infty} \frac{nV(\bar{y}_n)}{V(y_t)}\) である。
時系列解析の性質より、定常過程における標本平均の分散の極限（長期分散）は次のように表される。
\[\lim_{n \to \infty} nV(\bar{y}_n) = \sum_{h=-\infty}^{\infty} \gamma(h) = \gamma(0) + 2 \sum_{h=1}^{\infty} \gamma(h)\]
[1] の MA(1) モデルの結果を利用すると、
- \(V(y_t) = \gamma(0) = 1.64\sigma^2\)
- \(\sum \gamma(h) = \gamma(0) + 2\gamma(1) = 1.64\sigma^2 + 2(0.8\sigma^2) = 3.24\sigma^2\)
従って、比率は
\[\frac{3.24\sigma^2}{1.64\sigma^2} = \frac{3.24}{1.64} \approx 1.9756\]
選択肢の中で最も近い値は ③ 1.98 である。
[4]
AR(2) モデル \(y_t = a_1 y_{t-1} + a_2 y_{t-2} + \epsilon_t\) における自己相関関数 \(\rho(h)\) は、ユール・ウォーカー方程式を満たす。
\[\rho(h) = a_1 \rho(h-1) + a_2 \rho(h-2)\]
\(h=1\) と \(h=2\) の式を立てると（\(\rho(0)=1, \rho(-1)=\rho(1)\) に注意）、
- \(\rho(1) = a_1 \rho(0) + a_2 \rho(1) \implies 0.5 = a_1 + 0.5a_2\)
- \(\rho(2) = a_1 \rho(1) + a_2 \rho(0) \implies -0.25 = 0.5a_1 + a_2\)
この連立方程式を解く。
式1より \(a_1 = 0.5 – 0.5a_2\)。これを式2に代入する。
\[-0.25 = 0.5(0.5 – 0.5a_2) + a_2\]
\[-0.25 = 0.25 – 0.25a_2 + a_2\]
\[-0.5 = 0.75a_2 \implies a_2 = -\frac{0.5}{0.75} = -\frac{2}{3} \approx -0.67\]
これを式1に代入して \(a_1\) を求める。
\[0.5 = a_1 + 0.5(-0.666…) \implies 0.5 = a_1 – 0.333… \implies a_1 = 0.833…\]
よって、\(a_1 \approx 0.83, a_2 \approx -0.67\) となり、正解は ④ である。
よくある質問
Q. MA(1)とAR(1)のコレログラムはどう違いますか？
MA(1)はラグ1のみに非ゼロの自己相関を持ち、それ以降は突然カットオフされる。AR(1)は全ラグに自己相関が残り、指数的に減衰する（ゆっくり収束）。
Q. スペクトル密度からわかる情報は何ですか？
時系列の変動を周波数成分に分解し「どの周期の変動が強いか」を示す。季節性のある時系列では特定の周波数でピークが現れ、周期の長さを視覚的に把握できる。
Q. 時系列の定常性はどうやって確認しますか？
時系列プロットで平均・分散が時間によって変化しないか目視確認し、自己相関係数の減衰パターンを見る。より厳密にはADF検定（単位根検定）を用いる。
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