この問題のテーマ・前提知識
- テーマ: 条件付き確率・全確率の法則・ベイズの定理
- 前提知識: 全確率の法則（加重平均で周辺確率を求める方法）/ ベイズの定理（事後確率の計算）
問題の概要
2つの小問からなる。[1] 男子・女子それぞれの在籍比率と合格率が与えられたとき、全確率の法則を用いて大学全体の合格率を求める。[2] ランダムに選んだ一人が合格していたとき、その人が女子である確率をベイズの定理で求める。
解説
解法の方針：[1] 全確率の法則（男女別の比率×合格率の加重和）で大学全体の合格率を計算する。[2] [1]で求めた合格率を分母に使い、ベイズの定理で「合格者が女子である確率」を求める。
[1]
（大学全体の合格率）＝（男子の比率）×（男子の合格率）＋（女子の比率）×（女子の合格率）
したがって、
\[0.3×0.4+0.4×0.6=0.36\]
となる。
[2]
ランダムに選んだ一人が女子である事象を\(W\)とし、入学試験に合格する事象を\(S\)とおく。
ベイズの定理より、
\[P(W|S)=\frac{P(S|W)P(W)}{P(S)}=\frac{0.4×0.6}{0.36}=\frac{2}{3}\]
となる。
よくある質問
Q. 全確率の法則とは何ですか？
互いに排反で全体を尽くす事象（ここでは男子・女子）に分割し、各場合の条件付き確率と事前確率の積を足し合わせて周辺確率を求める公式。\(P(S) = P(S|W^c)P(W^c) + P(S|W)P(W)\) の形で表される。
Q. ベイズの定理の分母 \(P(S)\) に [1] の答えをそのまま使っていいですか？
はい。[1] で求めた大学全体の合格率 0.36 が \(P(S)\) そのものなので、そのまま分母に代入できる。これが小問 [1] と [2] がセットで出題される理由。
Q. 男子の比率が 0.3、女子が 0.4 で合計 0.7 なのはなぜですか？
問題文では残りの比率（例えば他の性別区分や欠損値）が存在する設定か、出題の文脈でそのような数値が与えられている。計算上は与えられた比率と合格率をそのまま使えばよく、合計が 1 にならなくても各小問の計算には影響しない。
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