【統計検定準１級】2018年6月選択問題及び部分記述問題問7【解答例・解説】

この問題のテーマ・前提知識

テーマ: 階層的クラスター分析（ウォード法）・デンドログラムの読み取り・主成分分析の負荷量マップ
前提知識: 階層的クラスタリングとk-means法（デンドログラムの読み方） / 主成分分析・主成分得点の読み取り / 主成分分析における第1・第2主成分負荷量の符号と象限の対応

問題の概要

3つの小問からなる。[1] ウォード法におけるクラスター間距離の定義として正しい選択肢を選ぶ。[2] アンケート5項目の回答データ（15名）に対して階層的クラスター分析を行ったデンドログラムから、3名の回答者A・B・Cの位置関係を読み取り、適切な記述を選ぶ。[3] 寿司ネタ5種の主成分分析結果（第1・第2主成分負荷量）を正しくプロットした散布図を選ぶ。

解説

解法の方針：[1] ウォード法の距離は「偏差平方和の増加量」として定義されることを確認する。[2] ユークリッド距離の2乗を計算して3名の近遠関係を把握し、デンドログラムの Height と位置から構造を読み取る。[3] 各ネタの第1・第2主成分負荷量の符号から象限を特定し、一致する図を選ぶ。

[1]

階層的クラスター分析のウォード法は、「クラスターを結合した際に、情報量の損失（データのばらつき）がなるべく小さくなるように結合していく」手法である。

このばらつきの指標として「偏差平方和」を用いる。クラスター間の距離は、「結合後のクラスター内の偏差平方和」から「結合前の2つのクラスター内の偏差平方和の和」を引いたもの（つまり偏差平方和の増加量）として定義される。

従って、正解は ④ である。

[2]

ステップ1：回答データから3名の距離（類似度）を計算する

表で与えられた (ア), (イ), (ウ) の回答データから、それぞれのユークリッド距離の2乗を計算する。

\(d^2(\text{ア}, \text{イ}) = (5-3)^2 + (3-4)^2 + (2-5)^2 + (5-3)^2 + (4-5)^2 = 19\)
\(d^2(\text{ア}, \text{ウ}) = (5-4)^2 + (3-5)^2 + (2-5)^2 + (5-4)^2 + (4-4)^2 = 15\)
\(d^2(\text{イ}, \text{ウ}) = (3-4)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 = 4\)

ここから、(イ) と (ウ) は距離が非常に近く（好みが似ている）、(ア) は他の2人から遠く離れている（好みが特異である） ということがわかる。

ステップ2：デンドログラムからA, B, Cの位置関係を読み取る

問題のデンドログラムの下部（横軸）に並んでいるアルファベットは、15人の回答者（A〜O）の個人ラベルである。左から順に目を凝らすと「C, O, G, K, L, F, D, J, N, M, A, E, H, B, I」と並んでいることがわかる。

ここから A, B, C の構造的な位置関係を確認する。

A と B：どちらも図の右半分の大きなクラスターに属している。Height が6付近の段階で同じグループとして結合しており、全体の中で見れば相対的に距離が近いペアである。
C：図の左端にある、全く別の大きなクラスターに属している。A や B の属するグループと結合するのは、すべてのデータがまとまる一番最後の根元の部分（Height 12付近）である。つまり、A・Bからは最も遠く離れている。

従って、正解は ⑤ である。

[3]

主成分分析の結果をプロットしたグラフ（主成分負荷量マップ）を選ぶ問題である。これは表の数値を \(xy\) 座標（横軸：第1主成分、縦軸：第2主成分）として、どの象限に位置するかを確認するだけでよい。

まぐろ：(0.824, 0.450) ➡ 第1象限（右上）
サーモン：(-0.763, 0.580) ➡ 第2象限（左上）
うに・いくら：(-0.662, 0.703) ➡ 第2象限（左上）
貝類：(0.878, 0.290) ➡ 第1象限（右上）
白身：(0.906, 0.313) ➡ 第1象限（右上）

「サーモン」と「うに・いくら」の横軸（第1主成分）がマイナスであり、それ以外はすべてプラスである。

従って、正解は ④ である。

よくある質問

Q. ウォード法と他のクラスター結合法（最短距離法・最長距離法）はどう違いますか？

最短距離法はクラスター間の最も近い2点の距離、最長距離法は最も遠い2点の距離をクラスター間距離とする。ウォード法はこれらと異なり、「結合によって生じる偏差平方和の増加量」を距離の指標とするため、コンパクトで等サイズに近いクラスターが形成されやすい。準1級では各手法の特徴の違いとして頻出。

Q. デンドログラムの Height（縦軸）は何を表していますか？

Height はクラスターが結合された時点での「クラスター間距離」を表す。ウォード法なら偏差平方和の増加量、最短距離法なら最小ユークリッド距離などに対応する。Height が高い位置で結合しているほど「似ていないグループ同士が無理やり統合された」ことを意味するため、どの高さで切るかがクラスター数の決定基準になる。

Q. 主成分負荷量マップで象限を読み取る際の注意点は何ですか？

横軸が第1主成分、縦軸が第2主成分であることを確認し、各変数の負荷量の符号（プラス／マイナス）から象限を特定する。選択肢の図が全体的に似ている場合は、符号が異なる変数（今回はサーモンとうに・いくら）に着目して絞り込むと効率的。負荷量の大きさ（絶対値）は原点からの距離に対応する。

【統計検定準１級】2018年6月選択問題及び部分記述問題問8【解答例・解説】

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