この問題のテーマ・前提知識
- テーマ: 離散確率分布の決定・分散の計算・最大値の確率
- 前提知識: 確率の加法定理と全確率の条件（\(\sum p_i = 1\)） / 期待値・分散の公式 \(V(X) = E[X^2] – (E[X])^2\) / 独立な繰り返し試行における最大値の確率計算
問題の概要
1, 2, 3, 4 の目しか出ないサイコロを考える。対称条件（奇数の目どうし・偶数の目どうしが等確率）と期待値の条件が与えられており、2つの小問に答える。[1] この確率分布のもとでの分散を求める。[2] このサイコロを独立に2回振ったとき、出目の最大値が 3 となる確率を求める。
解説
解法の方針：まず与えられた対称条件と期待値条件から連立方程式を立て、確率分布を一意に決定する。[1] 決定した分布を用いて \(E[X^2]\) を計算し、分散の公式に代入する。[2] 最大値が 3 になるパターン（少なくとも一方が 3 で、もう一方が 3 以下）を場合分けして確率を合計する。
サイコロの目 1, 2, 3, 4 が出る確率を、それぞれ \(p_1, p_2, p_3, p_4\) とおく。
問題文の条件「\(P(X=1) = P(X=3)\)」「\(P(X=2) = P(X=4)\)」より、以下が成り立つ。
\[p_1 = p_3\]
\[p_2 = p_4\]
すべての確率の和は 1 であるため、次式が成り立つ。
\[p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\]
ここに先の条件を代入すると、
\[2p_1 + 2p_2 = 1 \quad \implies \quad p_1 + p_2 = \frac{1}{2} \quad \cdots \text{①}\]
次に、期待値 \(E[X] = \frac{8}{3}\) であるという条件を用いる。
\[E[X] = 1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 + 4 \cdot p_4 = \frac{8}{3}\]
ここにも \(p_1=p_3, p_2=p_4\) を代入して整理する。
\[1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_1 + 4 \cdot p_2 = \frac{8}{3}\]
\[4p_1 + 6p_2 = \frac{8}{3}\]
両辺を 2 で割ると、
\[2p_1 + 3p_2 = \frac{4}{3} \quad \cdots \text{②}\]
式①と式②を連立方程式として解く。式①より \(p_1 = \frac{1}{2} – p_2\) とし、式②に代入する。
\[2\left(\frac{1}{2} – p_2\right) + 3p_2 = \frac{4}{3}\]
\[1 – 2p_2 + 3p_2 = \frac{4}{3}\]
\[p_2 = \frac{1}{3}\]
これを式①に戻して \(p_1\) を求める。
\[p_1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]
以上により、確率分布は次のように決定する。
- \(P(X=1) = \frac{1}{6}\)
- \(P(X=2) = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}\)
- \(P(X=3) = \frac{1}{6}\)
- \(P(X=4) = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}\)
[1]
\begin{eqnarray}
E[X^2] &=& 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{2}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{2}{6} \\
&=& 1 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{2}{6} + 9 \cdot \frac{1}{6} + 16 \cdot \frac{2}{6} \\
&=& \frac{1 + 8 + 9 + 32}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \\
\end{eqnarray}
\(E[X] = \frac{8}{3}\) であるから、分散の公式より、
\begin{eqnarray}
V(X) &=& \frac{25}{3} – \left(\frac{8}{3}\right)^2\\
&=& \frac{25}{3} – \frac{64}{9} \\
&=& \frac{75}{9} – \frac{64}{9} = \frac{11}{9} \\
\end{eqnarray}
[2]
\(Y=3\) となるのは、2 回の出目の最大値が 3 になる場合であり、以下のいずれかのパターンに該当するときである。（1回目の出目を \(X_1\)、2回目を \(X_2\) とする）
- 両方とも 3 が出る：\((X_1, X_2) = (3, 3)\)
- 片方が 3 で、もう片方が 1 または 2 が出る：\((X_1, X_2) = (3, 1), (3, 2), (1, 3), (2, 3)\)
これらの事象は互いに排反（同時には起こらない）であるため、それぞれの確率を求めて足し合わせる。
- \((3, 3)\) の確率：\(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
- \((3, 1)\) の確率：\(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
- \((3, 2)\) の確率：\(\frac{1}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\)
- \((1, 3)\) の確率：\(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
- \((2, 3)\) の確率：\(\frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{36}\)
合計すると、
\[P(Y=3) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{7}{36}\]
よくある質問
Q. 確率分布を決定するとき、なぜ連立方程式で一意に解けるのですか？
今回は「全確率の和 = 1」「対称条件」「期待値条件」の3つの制約により、独立な未知数が \(p_1, p_2\) の2つに絞られ、式①・②の2元連立方程式が立てられる。制約の数と未知数の数が一致しているため、解が一意に定まる。
Q. 最大値の確率を求めるとき、なぜ「最大値が 3 以下」から「最大値が 2 以下」を引かないのですか？
引き算による補集合アプローチ（\(P(Y \le 3) – P(Y \le 2)\)）も正しい方法で、同じ答えが得られる。今回は該当する組み合わせが少ないため直接列挙したが、最大値のパターンが多い場合は補集合を使う方が計算が楽になることがある。
Q. 分散の公式 \(V(X) = E[X^2] – (E[X])^2\) はなぜ成り立つのですか？
定義 \(V(X) = E[(X – \mu)^2]\) を展開すると \(E[X^2] – 2\mu E[X] + \mu^2 = E[X^2] – \mu^2\) となる（ここで \(\mu = E[X]\)）。この変形により、二乗の期待値と期待値の二乗の差として計算できる。直接定義を使うより計算が楽になるため、試験では必ずこの形を使う。
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