この問題のテーマ・前提知識
- テーマ: 母比率の検定・棄却域の決定・検出力の計算
- 前提知識: 標本比率の正規近似（\(\hat{p} \approx N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\)） / 有意水準と棄却域の関係 / 検出力（第二種の過誤の補数）の定義
問題の概要
2つの小問からなる。[1] 母比率が 0.4 という帰無仮説のもとで、標本サイズ 600 の標本比率を使った片側検定の棄却域（境界値 \(c\)）を有意水準 5% で求める。[2] 真の母比率が 0.45 であるとき、[1] で求めた棄却域に対応する検出力を求める。
解説
解法の方針：[1] 帰無仮説のもとで標本比率を正規近似し、上側 5% 点（1.645）を使って棄却域の境界値 \(c\) を求める。[2] 対立仮説（\(p=0.45\)）のもとで標本比率を再び正規近似し、\(\hat{p} \ge c\) となる確率（検出力）を標準正規分布表から読み取る。
[1]
帰無仮説 \(H_0\) が正しいと仮定すると、母比率 \(p = 0.4\) である。
このとき、標本比率 \(\hat{p}\) の平均と分散は以下のようになる。
- 平均：\(E(\hat{p}) = p = 0.4\)
- 分散：\(V(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0.4 \times (1 – 0.4)}{600} = \frac{0.24}{600} = 0.0004\)
- 標準偏差：\(\sigma = \sqrt{0.0004} = 0.02\)
よって、\(\hat{p}\) は近似的に正規分布 \(N(0.4, 0.02^2)\) に従う。
\(\hat{p}\) を標準化した変数 \(Z = \frac{\hat{p} – 0.4}{0.02}\) は、標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。
\(P(\hat{p} \ge c) = 0.05\) より、標準化すると、
\[P\left(Z \ge \frac{c – 0.4}{0.02}\right) = 0.05\]
となる。
標準正規分布の上側 5% 点は 1.645 であるため、
\[\frac{c – 0.4}{0.02} = 1.645\]
\[c = 0.4 + 1.645 \times 0.02 = 0.4 + 0.0329 = 0.4329\]
従って、正解は ③ である。
[2]
対立仮説 \(H_1\) が真であるとすると、母比率 \(p = 0.45\) である。
このとき、標本比率 \(\hat{p}\) の平均と分散は以下のようになる。
- 平均：\(E(\hat{p}) = 0.45\)
- 分散：\(V(\hat{p}) = \frac{0.45 \times (1 – 0.45)}{600} = \frac{0.2475}{600} = 0.0004125\)
- 標準偏差：\(\sigma = \sqrt{0.0004125} \approx 0.02031\)
よって、\(\hat{p}\) は近似的に正規分布 \(N(0.45, 0.02031^2)\) に従う。
検出力は、対立仮説が真であるときに \(\hat{p}\) が棄却域に入る確率 \(P(\hat{p} \ge c)\) である。
\[Z = \frac{\hat{p} – 0.45}{0.02031}\]
\[P(\hat{p} \ge 0.4329) = P\left(Z \ge \frac{0.4329 – 0.45}{0.02031}\right) = P\left(Z \ge \frac{-0.0171}{0.02031}\right) \approx P(Z \ge -0.842)\]
標準正規分布において、\(Z\) が \(-0.842\) 以上になる確率を考える。
対称性から \(P(Z \ge -0.842) = P(Z \le 0.842)\) であり、標準正規分布表より \(Z=0.84\) のときの下側確率（面積）は約 0.80 である。
従って、正解は ⑤ である。
よくある質問
Q. 棄却域の境界値を求めるとき、なぜ帰無仮説の \(p\) で分散を計算するのですか？
仮説検定は「帰無仮説が真だと仮定したときに、観測データがどれほど稀か」を評価する手続き。そのため棄却域の設定は \(H_0: p=0.4\) のもとで行い、分散も \(p=0.4\) を使って計算する。検出力の計算（[2]）は対立仮説の \(p=0.45\) を使う点と混同しないよう注意。
Q. 検出力と第二種の過誤（\(\beta\)）の関係は？
検出力（power）は「対立仮説が真のときに正しく帰無仮説を棄却できる確率」で、\(1 – \beta\) に等しい。\(\beta\) は対立仮説が真なのに棄却しない誤り（第二種の過誤）の確率。今回は検出力 ≈ 0.80 なので、\(\beta \approx 0.20\) となる。
Q. サンプルサイズを大きくすると検出力はどう変わりますか？
\(n\) が大きいほど標準誤差 \(\sqrt{p(1-p)/n}\) が小さくなり、帰無仮説と対立仮説の分布の重なりが減る。そのため棄却域に入りやすくなり、検出力は上がる。逆に \(n\) が小さいと検出力は低下し、真の差を見逃しやすくなる（第二種の過誤が増える）。
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