この問題のテーマ・前提知識
- テーマ: 指数分布の確率密度関数・平均・中央値・モーメント推定
- 前提知識: 生存関数と累積分布関数の関係 / 部分積分法 / モーメント法（標本平均によるパラメータ推定）
問題の概要
機械の寿命 \(T\) の生存関数が \(S(t) = \exp(-\lambda t)\)（\(t \geq 0\)）で与えられる3小問。[1] 生存関数から確率密度関数を導き選択肢を選ぶ。[2] 指数分布の平均と中央値を求める。[3] 標本平均 2.0 年のデータからモーメント法で中央値を数値推定する。
解説
解法の方針：[1] 累積分布関数 \(F(t) = 1 – S(t)\) を微分して確率密度関数を求める。[2] 部分積分で平均を計算し、生存関数 \(S(m)=0.5\) から中央値を導く。[3] \(1/\lambda =\) 標本平均 の関係を使い \(\lambda\) を推定して中央値を数値計算する。
[1]
確率変数 \(T\) が \(t\) 以下となる確率を表す累積分布関数 \(F(t)\) は、全確率 1 から生存関数 \(S(t)\) を引くことで求められる。
\[F(t) = P(T \le t) = 1 – P(T > t) = 1 – S(t)\]
\[F(t) = 1 – \exp(-\lambda t)\]
確率密度関数 \(f(t)\) は、累積分布関数 \(F(t)\) を時間 \(t\) で微分することで得られる。
\[f(t) = \frac{d}{dt}F(t) = \frac{d}{dt}\left(1 – \exp(-\lambda t)\right)\]
\[f(t) = 0 – (-\lambda)\exp(-\lambda t) = \lambda \exp(-\lambda t)\]
時間は 0 以上であるため、 \(t < 0\) のときは \(f(t) = 0\) となる。
従って、正解は ④ である。
[2]
導出した確率密度関数 \(f(t) = \lambda \exp(-\lambda t)\) は、パラメータ \(\lambda\) の指数分布に従うことを示している。
平均（期待値）の計算
平均 \(E[T]\) は定義通りに積分を計算することで求められる（部分積分法を用いる）。
\[E[T] = \int_{0}^{\infty} t f(t) dt = \int_{0}^{\infty} t \lambda \exp(-\lambda t) dt\]
\[E[T] = \left[ t \left( -\exp(-\lambda t) \right) \right]_{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} 1 \cdot \left( -\exp(-\lambda t) \right) dt\]
第 1 項は \(t \to \infty\) のとき 0 に収束し、\(t=0\) のときも 0 になる。よって第 2 項のみを計算する。
\[E[T] = \left[ -\frac{1}{\lambda} \exp(-\lambda t) \right]_{0}^{\infty} = 0 – \left( -\frac{1}{\lambda} \right) = \frac{1}{\lambda}\]
中央値の計算
中央値 \(m\) は、累積分布関数 \(F(m) = 0.5\)、または生存関数 \(S(m) = 0.5\) となるような \(m\) の値である。
\[S(m) = \exp(-\lambda m) = \frac{1}{2}\]
両辺の自然対数（$\log$）をとる。
\[-\lambda m = \log\left(\frac{1}{2}\right)\]
ここで、\(\log(1/2) = \log(2^{-1}) = -\log 2\) であるため、
\[-\lambda m = -\log 2\]
\[m = \frac{\log 2}{\lambda}\]
従って、正解は ⑤ である。
[3]
標本から得られたデータの平均（標本平均）を用いて、未知のパラメータを推定する（モーメント法）。
標本平均は 2.0 年である。
\[\text{平均} = \frac{1}{\lambda} = 2.0\]
\[\text{中央値} = \frac{\log 2}{\lambda} = (\log 2) \times \left(\frac{1}{\lambda}\right)\]
\[\text{中央値} \approx 0.7 \times 2.0 = 1.4 \text{ (年)}\]
従って、正解は ② である。
よくある質問
Q. 生存関数から確率密度関数を導く手順がわかりません。
\(F(t) = 1 – S(t)\) の関係を使い、両辺を \(t\) で微分するだけでよい。\(S(t) = \exp(-\lambda t)\) を微分すると \(-(-\lambda)\exp(-\lambda t) = \lambda\exp(-\lambda t)\) が得られる。符号のミスに注意すること。
Q. 指数分布の平均と中央値はなぜ一致しないのですか？
指数分布は右裾が長い非対称な分布であるため、平均は大きな値に引っ張られて中央値より大きくなる。平均は \(1/\lambda\)、中央値は \((\log 2)/\lambda \approx 0.693/\lambda\) であり、常に「中央値 < 平均」が成り立つ。
Q. モーメント法とはどういう考え方ですか？
理論上の平均（母平均）を標本平均で置き換えてパラメータを推定する方法。指数分布では母平均 \(= 1/\lambda\) なので、標本平均 \(\bar{T}\) を観測したとき \(\hat{\lambda} = 1/\bar{T}\) と推定する。最尤推定量と一致するため、指数分布では特に使いやすい。
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