【統計検定準１級】2021年6月 選択問題及び部分記述問題 問3【解答例・解説】

解説

与えられた3変数正規分布 \(N(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)\) のパラメータは以下の通りである。

• 平均ベクトル
  \[\boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\]
  • \(E[X]=1, E[Y]=2, E[Z]=3\)
• 分散共分散行列
  \[\Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\]
  • \(V(X)=2, V(Y)=3, V(Z)=4\)
  • \(Cov(X,Y)=0, Cov(X,Z)=1, Cov(Y,Z)=2\)

[1]

\(\begin{pmatrix} X+Y \\ Y-Z \end{pmatrix}\) という新しいベクトルが従う分布を求める。

多変量正規分布の線形変換もまた正規分布に従うため、その平均と分散共分散行列を計算すればよい。

1. 平均の計算

\[E[X+Y] = E[X] + E[Y] = 1 + 2 = 3\]

\[E[Y-Z] = E[Y] – E[Z] = 2 – 3 = -1\]

2. 分散・共分散の計算

\[V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y) = 2 + 3 + 2(0) = 5\]

\[V(Y-Z) = V(Y) + V(Z) – 2Cov(Y,Z) = 3 + 4 – 2(2) = 3\]

\[Cov(X+Y, Y-Z) = Cov(X,Y) – Cov(X,Z) + V(Y) – Cov(Y,Z)=0 – 1 + 3 – 2 = 0\]

従って、求める分布は \(N\left( \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right)\) である。

[2]

\(X=x, Y=y\) が与えられたときの \(Z\) の条件付き分布 \(f(z|x,y)\) を求める。

これには多変量正規分布の条件付き分布の公式を用いる。

正規ベクトルを \(\begin{pmatrix} \mathbf{X}_{12} \\ X_3 \end{pmatrix}\) （ただし \(\mathbf{X}_{12} = \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}, X_3 = Z\)）と分割すると、

• 平均：\(E[Z|X,Y] = \mu_Z + \Sigma_{21}\Sigma_{11}^{-1} \begin{pmatrix} x-\mu_X \\ y-\mu_Y \end{pmatrix}\)
• 分散：\(V(Z|X,Y) = \Sigma_{22} – \Sigma_{21}\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}\)

ここで、

\(\Sigma_{11} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\), \(\Sigma_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\Sigma_{21} = (1, 2)\), \(\Sigma_{22} = 4\)

である。

1. 係数部分の計算

\(\Sigma_{11}^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}\) なので、

\[\Sigma_{21}\Sigma_{11}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 2/3 \end{pmatrix}\]

2. 条件付き平均の計算

\begin{eqnarray}
E[Z|x,y] &=& 3 + \begin{pmatrix} 1/2 & 2/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}\\
&=& 3 + \frac{1}{2}(x-1) + \frac{2}{3}(y-2)\\
&=& 3 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{2} + \frac{2}{3}y – \frac{4}{3}\\
&=& \frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y + \frac{18-3-8}{6} = \frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y + \frac{7}{6}\\
\end{eqnarray}

3. 条件付き分散の計算

\begin{eqnarray}
V(Z|x,y) &=& 4 – \begin{pmatrix} 1/2 & 2/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\
&=& 4 – \left( \frac{1}{2} + \frac{4}{3} \right) = 4 – \frac{11}{6} = \frac{13}{6}\\
\end{eqnarray}

従って、求める分布は \(N\left( \frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y + \frac{7}{6}, \frac{13}{6} \right)\) である。