【統計検定準１級】2021年6月 選択問題及び部分記述問題 問2【解答例・解説】

解説

[1]

連続型確率変数の期待値の定義より、

\begin{eqnarray}
E(X_i) &=& \int_0^\infty x^2 \cdot \frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda} dx \\
&=& [-xe^{-x/\lambda}]_0^\infty + \int_0^\infty x \cdot e^{-x/\lambda} dx \\
&=& [-\lambda e^{-x/\lambda}]_0^\infty \\
&=& \lambda
\end{eqnarray}

であり、

\begin{eqnarray}
E(X_i^2) &=& \int_0^\infty x \cdot \frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda} dx \\
&=& [-x^2e^{-x/\lambda}]_0^\infty + \int_0^\infty 2x \cdot e^{-x/\lambda} dx \\
&=& [-\lambda e^{-x/\lambda}]_0^\infty \\
&=& 2\lambda^2
\end{eqnarray}

より、分散の性質から、

\[V(X_I)=E(X_i^2)-E(X_i)^2=\lambda^2\]

と求まる。

[2]

尤度関数 \(L(\lambda)\) は、

\[L(\lambda)=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}=\lambda^{-n}\exp\left(-\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^nx_i\right)\]

であるから、対数尤度関数 \(l(\lambda)\) は、

\[l(\lambda)=\ln L(\lambda)=-n\ln\lambda-\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^nx_i\]

となる。

これを微分して、0 となる方程式を解く。

\[\frac{dl}{d\lambda}=-\frac{n}{\lambda^2}\sum_{i=1}^nx_i=0\]

\[\hat{\lambda}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\]

[1]より、\(\theta=\lambda^2\) なので、

\[\hat{\theta}=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\]

である。

[3]

ここではデルタ法（Delta Method）を用いる。デルタ法とは、ある推定量の関数が漸近的にどのような分散を持つかを導く手法である。

標本平均 \(\bar{X}\) について、中心極限定理より以下が成り立つ。

\[\sqrt{n}(\bar{X} – \lambda) \xrightarrow{d} N(0, V(X_i)) = N(0, \lambda^2)\]

\(\hat{\theta} = g(\bar{X})\)、\(\theta = g(\lambda)\) とすると、漸近分散は次のようになる。

\[\text{Asymptotic Variance} = [g'(\lambda)]^2 \cdot V(X_i)\]

\(g(\lambda) = \lambda^2\) なので、その微分は \(g'(\lambda) = 2\lambda\) である。

これを公式に代入すると、

\[[2\lambda]^2 \cdot \lambda^2 = 4\lambda^2 \cdot \lambda^2 = 4\lambda^4\]

従って、求める漸近分散は \(4\lambda^4\) である。