解説
[1]
- 最小二乗法（OLS）: すべてのデータを平等に扱う。不均一分散下でも「不偏性（偏りがないこと）」は保たれるが、推定量の分散は最小にならない。
- 一般化最小二乗法（GLS/WLS）: 分散 \(\sigma_i^2\) の逆数を重みとして用いる。バラツキが大きいデータの重みを小さく、バラツキが小さいデータの重みを大きくすることで、より精度の高い推定を行う。
ガウス＝マルコフの定理の拡張により、適切な重みを用いたGLS推定法は、最良線形不偏推定量（BLUE）となる。
つまり、数ある不偏推定量の中で「推定量の分散を最小にする」という性質を持つ。
従って、②が正解である。
[2]
決定係数 \(R^2\) は、「データの全変動のうち、回帰モデルによって説明できた変動の割合」を表す。
\[R^2 = \frac{\text{回帰平方和 (SSR)}}{\text{全平方和 (SST)}} = \frac{\sum_{i=1}^{10} (\hat{y}_i – \bar{y})^2}{\sum_{i=1}^{10} (y_i – \bar{y})^2}\]
- 分子（ア）: 回帰による予測値 \(\hat{y}_i\) と平均 \(\bar{y}\) の差の二乗和。
- 分母（イ）: 実測値 \(y_i\) と平均 \(\bar{y}\) の差の二乗和。
従って、②が正解である。
[3]
OLSの性質
最小二乗法（OLS）は、定義そのものが「残差二乗和 \(\sum (y_i – \hat{y}_i)^2\) を最小化する」手法である。これは、〔2〕の定義における \(R^2\) を最大化することと同義である。
GLSとの比較
一般化最小二乗法（GLS）は「重み付き残差二乗和」を最小化する手法であり、通常の（重みのない）残差二乗和を最小化するわけではない。そのため、通常の \(R^2\) の式に当てはめた場合、必ず \(R_1^2\) (OLS) \(\ge R_2^2\) (GLS) という関係が成り立つ。
グラフからの判断
図1の散布図を見ると、データ点は回帰直線に非常に強く集中しており、相関が極めて高いことがわかる。この場合、決定係数は 0.9 を超える高い値になるのが自然である。
\(R_1^2 > R_2^2\) を満たすのは ② と ④。
図の適合具合から、より妥当な数値は ④ (\(R_1^2 = 0.955, R_2^2 = 0.705\)) である。
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