【統計検定準１級】2015年6月 論述問題 問2【解答例・解説】

解説

[1]

被説明変数と説明変数を対数変換した場合、回帰係数は説明変数の変化率に対する被説明変数の変化率の比と解釈することができる。

回帰モデルとしては、被説明変数と説明変数の対数変換は、大域的に弾性率一定であることを意味するから。

[2]

自動調整済み決定係数 \(\bar{R}^2\) の値が大きく、\(AIC\) の値が小さい モデル(A) を選択すべきである。

モデル(A) とすると、定期会員数が多いと楽員一人当たり演奏収入は有意に多くなり、補助金が多いほど楽員一人当たり演奏収入は有意に少なくなっている。

これにより、仮説 I, III は成立していると言える。

そして、公演入場者数と楽員一人あたり演奏収入の関係が有意ではないことから、仮説 II に肯定的な結論は導きにくい。

[3]

\begin{eqnarray}
\log{Y} &=& \beta_0+\beta_1\log{NM/NC}+\beta_2\log{NC}+\beta_3\log{SUB} \\
&=& \beta_0+\beta_1\log{NM}+(\beta_2-\beta_1)\log{NC}+\beta_3\log{SUB} \\
\end{eqnarray}

より、 モデル(A) の式と係数比較すると、

\begin{eqnarray}
\beta_1 &=& 0.300 \\
\beta_2 &=& 0.514 \\
\end{eqnarray}

とわかる。

次に、\(\beta_2\) の \(t\) 値を求める。

\begin{eqnarray}
V[\hat{\beta}_2-\hat{\beta}_1] &=& V[\hat{\beta}_2] + V[\hat{\beta}_1] – 2Cov[\hat{\beta}_2,\hat{\beta}_1] \\
&=& V[\hat{\beta}_2] + V[\hat{\beta}_1] – 2(Cov[\hat{\beta}_2-\hat{\beta}_1,\hat{\beta}_1]+Cov[\hat{\beta}_1,\hat{\beta}_1]) \\
&=& V[\hat{\beta}_2] + V[\hat{\beta}_1] – 2(Cov[\hat{\beta}_2-\hat{\beta}_1,\hat{\beta}_1]+V[\hat{\beta}_1]) \\
&=& V[\hat{\beta}_2] – V[\hat{\beta}_1] – 2Cov[\hat{\beta}_2-\hat{\beta}_1,\hat{\beta}_1] \\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
V[\hat{\beta}_2] &=& V[\hat{\beta}_2-\hat{\beta}_1] + V[\hat{\beta}_1] + 2Cov[\hat{\beta}_2-\hat{\beta}_1,\hat{\beta}_1] \\
&=& 0.023840 + 0.008642 – 2 × 0.008046 \\
&=& 0.01639
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
t &=& \frac{\hat{\beta}_2}{\sqrt{V[\hat{\beta}_2] }} \\
&=& \frac{0.514}{\sqrt{0.01639] }} \\
&\approx& 4.015
\end{eqnarray}

と求まる。

(A) と (C) の誤差二乗和は等しくパラメータ数も同じであることから、(C) の \(\bar{R}^2\)  と \(AIC\) の値は (A) と等しくなるので、

\[\bar{R}^2 = 0.534\]

\[AIC = 7.214\]

[4]

楽員一人あたり演奏収入を増やすには、公演入場者数を増やすとともに定期会員数を増やす必要がある。
そのため、定期会員の獲得を通じた公演入場者数の増加を図ることが望ましいと言える。