解説
[1]
3種類のカードを A, B, C とし、これらをすべて揃えるまでの購入回数の期待値を求める。
- 1種類目を入手するまで
まだ何も持っていない状態から、どのカードでも良いので1枚目を入手する確率は \(p_1 = \frac{3}{3} = 1\) である。よって、必要な回数の期待値は \(E_1 = \frac{1}{p_1} = 1\) 回となる。 - 2種類目を入手するまで
すでに1種類持っている状態で、それとは異なる残りの2種類のいずれかを引く確率は \(p_2 = \frac{2}{3}\) である。ヒントにある通り、幾何分布の平均は \(p^{-1}\) なので、必要な回数の期待値は \(E_2 = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}\) 回となる。 - 3種類目を入手するまで
すでに2種類持っている状態で、最後の一枚を引く確率は \(p_3 = \frac{1}{3}\) である。必要な回数の期待値は \(E_3 = \frac{1}{1/3} = 3\) 回となる。
全体の期待値
これらを合計すると、3種類すべてを揃えるまでの期待値は以下のようになる。
\[E = E_1 + E_2 + E_3 = 1 + \frac{3}{2} + 3 = \frac{11}{2} = 5.5\]
[2]
1. 期待値 \(x\) の算出
問題文の「4種類すべてを揃えるのに必要な購入回数」とは、最初に3種類を揃えるために費やした回数と、その後4種類目が出るまでに追加で費やした回数の合計を意味する。
- 最初の3種類を揃えるまでの回数
[1]で求めた通り、この期待値は 5.5 回である。 - 追加の1種類（4枚目）を引くまでの回数
4種類が等確率で入っている状態から、持っていない残り1枚を引く確率は \(p = \frac{1}{4}\) である。このとき、追加で必要な購入回数の期待値は \(\frac{1}{p} = 4\) 回となる。 - 合計の期待値 \[x = 5.5 + 4 = 9.5\]
2. 期待値 \(y\) の算出
\(y\) は「最初から4種類あった場合」の期待値である。これは、新しい種類を引く確率が「\(\frac{4}{4} \rightarrow \frac{3}{4} \rightarrow \frac{2}{4} \rightarrow \frac{1}{4}\)」と変化していく合計として計算される。
\[y = \sum_{k=0}^{3} \frac{4}{4-k} = \frac{4}{4} + \frac{4}{3} + \frac{4}{2} + \frac{4}{1}\]
\[y = 1 + \frac{4}{3} + 2 + 4 = 7 + \frac{4}{3} = \frac{25}{3}\]
3. 期待値の差 \(x – y\) の計算
最後に、\(x\) と \(y\) の差を求める。計算を簡単にするため、9.5 を分数（\(\frac{19}{2}\)）に直して計算する。
\[x – y = 9.5 – \frac{25}{3}= \frac{7}{6}\]
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