解説
[1]
◼︎モデルの整理
米ドル/円レート \(x_t\) が以下の式に従うとする。
\[x_t = x_0 + \sigma B_t\]
観測データは \(k=0, 1, \dots, 100\) の整数時刻で得られている。
つまり、時間の刻み幅は \(\Delta t = 1\) である。
◼︎増分の期待値
各ステップの増分 \(x_k – x_{k-1}\) は次のように書ける。
\[x_k – x_{k-1} = \sigma (B_k – B_{k-1})\]
この 2 乗の期待値を考えると、
\[E[(x_k – x_{k-1})^2] = \sigma^2 E[(B_k – B_{k-1})^2] = \sigma^2 \cdot (k – (k-1)) = \sigma^2\]
◼︎推定
問題文で与えられた統計量 \(V\) は増分の 2 乗平均である。
モーメント法により、これを期待値と等置する。
\[V = \frac{1}{100} \sum_{k=1}^{100} (x_k – x_{k-1})^2 = 0.001224 \approx \sigma^2\]
従って、
\[\hat{\sigma} = \sqrt{0.001224} \approx 0.03498\]
最も近い選択値は ② 0.035 である。
[2]
◼︎条件の変化
今度はより細かいデータ（高頻度データ）が使われている。刻み幅は \(\Delta t = \frac{1}{10}\) である。
与えられた統計量は以下の通り。
\[V_1 = \frac{1}{1000} \sum_{k=1}^{1000} (x_{\frac{k}{10}} – x_{\frac{k-1}{10}})^2 = 0.000595\]
◼︎増分の期待値
刻みが \(\frac{1}{10}\) の場合、増分の 2 乗の期待値は次のようになる。
\[E[(x_{\frac{k}{10}} – x_{\frac{k-1}{10}})^2] = \sigma^2 \cdot \frac{1}{10}\]
◼︎推定
同様に期待値と等置すると、
\[V_1 \approx \frac{\sigma^2}{10} \implies \sigma^2 \approx 10 \cdot V_1 = 0.00595\]
\[\hat{\sigma} = \sqrt{0.00595} \approx 0.0771\]
最も近い選択値は ③ 0.077 である。
[3]
◼︎モデルの構造
2 つの通貨ペア（ドル/円 \(x_t\) とユーロ/円 \(y_t\)）が、共通のブラウン運動 \(B_t^{(1)}\) と個別のブラウン運動 \(B_t^{(2)}, B_t^{(3)}\) に依存している。
\[x_t = x_0 + \sigma_1 \sqrt{\rho} B_t^{(1)} + \sigma_1 \sqrt{1-\rho} B_t^{(2)}\]
\[y_t = y_0 + \sigma_2 \sqrt{\rho} B_t^{(1)} + \sigma_2 \sqrt{1-\rho} B_t^{(3)}\]
この構造において、増分 \(\Delta x\) と \(\Delta y\) の相関係数は \(\rho\) となる（各増分の分散が \(\sigma_1^2 \Delta t, \sigma_2^2 \Delta t\)、共分散が \(\sigma_1 \sigma_2 \rho \Delta t\) となるため）。
◼︎パラメータの推定
相関係数 \(\rho\) の推定値 \(\hat{\rho}\) は、サンプル共分散をサンプル標準偏差の積で割ることで得られる。
- \(V_1\) (xの増分 2 乗平均) \(= 0.000595 \approx \sigma_1^2 \Delta t\)
- \(V_2\) (yの増分 2 乗平均) \(= 0.001008 \approx \sigma_2^2 \Delta t\)
- \(V_{1,2}\) (xとyの増分積の平均) \(= 0.000292 \approx \sigma_1 \sigma_2 \rho \Delta t\)
よって、
\[\hat{\rho} = \frac{V_{1,2}}{\sqrt{V_1 \cdot V_2}} = \frac{0.000292}{\sqrt{0.000595 \times 0.001008}}\]
\[V_1 \times V_2 = 0.000595 \times 0.001008 \approx 0.00000059976\]
\[\sqrt{V_1 \times V_2} \approx 0.0007744\]
\[\hat{\rho} = \frac{0.000292}{0.0007744} \approx 0.377\]
最も近い選択値は ③ 0.38 である。
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