【統計検定準１級】2018年6月選択問題及び部分記述問題問7【解答例・解説】

解説

階層的クラスター分析のウォード法は、「クラスターを結合した際に、情報量の損失（データのばらつき）がなるべく小さくなるように結合していく」手法である。

このばらつきの指標として「偏差平方和」を用いる。クラスター間の距離は、「結合後のクラスター内の偏差平方和」から「結合前の2つのクラスター内の偏差平方和の和」を引いたもの（つまり偏差平方和の増加量）として定義される。

従って、正解は ④ である。

ステップ1：回答データから3名の距離（類似度）を計算する

表で与えられた (ア), (イ), (ウ) の回答データから、それぞれのユークリッド距離の2乗を計算する。

$d^2(\text{ア}, \text{イ}) = (5-3)^2 + (3-4)^2 + (2-5)^2 + (5-3)^2 + (4-5)^2 = 19$
$d^2(\text{ア}, \text{ウ}) = (5-4)^2 + (3-5)^2 + (2-5)^2 + (5-4)^2 + (4-4)^2 = 15$
$d^2(\text{イ}, \text{ウ}) = (3-4)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 = 4$

ここから、(イ) と (ウ) は距離が非常に近く（好みが似ている）、(ア) は他の2人から遠く離れている（好みが特異である） ということわかる。

ステップ2：デンドログラムからA, B, Cの位置関係を読み取る

問題のデンドログラムの下部（横軸）に並んでいるアルファベットは、15人の回答者（A〜O）の個人ラベルである。左から順に目を凝らすと「C, O, G, K, L, F, D, J, N, M, A, E, H, B, I」と並んでいることがわかる。

ここから A, B, C の構造的な位置関係を確認する。

A と B：どちらも図の右半分の大きなクラスターに属している。Height が6付近の段階で同じグループとして結合しており、全体の中で見れば相対的に距離が近いペアである。
C：図の左端にある、全く別の大きなクラスターに属している。A や B の属するグループと結合するのは、すべてのデータがまとまる一番最後の根元の部分（Height 12付近）である。つまり、A・Bからは最も遠く離れている。

従って、正解は ⑤ である。

主成分分析の結果をプロットしたグラフ（主成分負荷量マップ）を選ぶ問題である。これは表の数値を $xy$ 座標（横軸：第1主成分、縦軸：第2主成分）として、どの象限に位置するかを確認するだけでよい。

まぐろ：(0.824, 0.450) ➡ 第1象限（右上）
サーモン：(-0.763, 0.580) ➡ 第2象限（左上）
うに・いくら：(-0.662, 0.703) ➡ 第2象限（左上）
貝類：(0.878, 0.290) ➡ 第1象限（右上）
白身：(0.906, 0.313) ➡ 第1象限（右上）

「サーモン」と「うに・いくら」の横軸（第1主成分）がマイナスであり、それ以外はすべてプラスである。

従って、正解は ④ である。