解説
[1]
\[\log Y=\alpha+\beta x+\epsilon\]
より、
\[Y=\exp(\alpha+\beta x+\epsilon)\]
となる。
\(x\) が大きくなるほど、 \(y\) は指数関数的な値を示すことがわかる。
[2]
\(Y\) の条件付き期待値 \(E[Y|x]\) は、
\begin{eqnarray}
E[Y|x]&=&E[\exp(\alpha+\beta x+\epsilon)] \\
&=&\exp(\alpha+\beta x)×E[\exp(\epsilon)] \\
\end{eqnarray}
である。
\(\epsilon\sim N(0, \sigma^2)\) より、正規分布のモーメント母関数の式（参考）を用いて、
\[E[\exp(\epsilon)]=\exp(\sigma^2/2)\]
となる。
従って、
\[E[Y]=\exp(\alpha+\beta x+\sigma^2/2)\]
となる。
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