【統計検定準１級】2016年6月 論述問題 問2【解答例・解説】

解説

[1]

(1)

\begin{eqnarray}
Z^TZ &=& \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}
\end{eqnarray}

より、

\begin{eqnarray}
\hat{\beta} &=& (Z^TZ)^{-1}Z^T\boldsymbol{y} \\
&=& \frac{1}{5×10-0}\begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7.7 \\ 6.6 \\ 7.0 \\ 7.2 \\ 8.0 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} 7.3 \\ 0.12 \end{pmatrix}
\end{eqnarray}

となる。

従って、単回帰式は、

\begin{eqnarray}
y &=& 7.3 + 0.12z \\
&=& 7.3 + 0.12 × (0.2x – 4) \\
&=& 7.3 + 0.24x – 0.48 \\
&=& 0.82 + 0.024
\end{eqnarray}

---

(2)

(1)を用いると予測値ベクトルと残差平方和は、

\(x\)	\(y\)	\(\hat{y}\)	\((y-\hat{y})^2\)
10	7.7	7.06	0.410
15	6.6	7.18	0.336
20	7	7.3	0.090
25	7.2	7.42	0.048
30	8	7.54	0.212
			1.096

[2]

(1)

\(z\) および \(z^2\) を説明変数として重回帰分析を行う。

\[\tilde{Z}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\]

\[\boldsymbol{y}=\begin{pmatrix} 7.7 \\ 6.6 \\ 7.0 \\ 7.2 \\ 8.0 \end{pmatrix}\]

\begin{eqnarray}
Z^TZ &=& \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 0 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 34 \end{pmatrix}
\end{eqnarray}

より、

\begin{eqnarray}
\hat{\beta} &=& (Z^TZ)^{-1}Z^T\boldsymbol{y} \\
&=& \frac{1}{70}\begin{pmatrix} 34 & 0 & -10 \\ 0 & 7 & 0 \\ -10 & 0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7.7 \\ 6.6 \\ 7.0 \\ 7.2 \\ 8.0 \end{pmatrix} \\
&=& \frac{1}{70}\begin{pmatrix} 475 \\ 8.4 \\ 18 \end{pmatrix}
&=& \begin{pmatrix} 6.786 \\ 0.12 \\ 0.257 \end{pmatrix}
\end{eqnarray}

となる。

従って、重回帰式は、

\begin{eqnarray}
y &=& 6.79 + 0.12z + 0.26x^2 \\
&=& 6.79 + 0.12 × (0.2x – 4) + 0.26 × (0.2x – 4)^2 \\
&=& 10.47 – 0.392x + 0.0104x^2
\end{eqnarray}

---

(2)

(1)を用いると予測値ベクトルと残差平方和は、

\(x\)	\(y\)	\(\hat{y}\)	\((y-\hat{y})^2\)
10	7.7	7.59	0.012
15	6.6	6.93	0.109
20	7	6.79	0.044
25	7.2	7.17	0.001
30	8	8.07	0.005
			0.171

[3]

\(n\log{S_e}+2(p+2)\) の大小を比較する。

[1]の単回帰モデルの場合は、\(5\log{1.10}+2×(1+2)\fallingdotseq 6.46\)

[2]の重回帰モデルの場合は、\(5\log{0.17}+2×(2+2)\fallingdotseq -0.85\)

となり、[2]の方が AIC の値が小さく、良いモデルと言える。