解説
[1]
1. 検査1で陽性が出る確率 \(P(T_1)\) を求める
陽性が出るのは、次の2つのパターンである。
- 本当に感染していて、正しく陽性と判定される場合\[0.001 \times 0.999 = 0.000999\]
- 感染していないのに、誤って陽性と判定される場合\[0.999 \times 0.001 = 0.000999\]
従って、検査1で陽性が出る全体の確率は、
\[P(T_1) = 0.000999 + 0.000999 = 0.001998\]
となる。
2. 陽性者のうち、本当に感染している確率を求める
これは、上記の「全体（陽性判定）」のうち、「本当に感染しているケース」が占める割合である。
\[\frac{0.000999}{0.001998} = \frac{1}{2} = 0.5\]
[2]
1. 状況の再設定
検査2を受ける時点で、対象となる集団は「検査1で陽性と出た人たち」に絞られている。
[1] の結果から、この集団における本当の感染率は 50 %である。
- \(P(\text{感染}’) = 0.5\)
- \(P(\text{非感染}’) = 0.5\)
2. 検査2で陽性が出る確率 $P(T_2)$ を求める
検査2で陽性が出るのは、以下の2パターンである。
- 本当に感染していて、正しく陽性と判定される場合\[0.5 \times 0.95 = 0.475\]
- 感染していないのに、誤って陽性と判定される場合\[0.5 \times 0.05 = 0.025\]
全体の陽性確率は \(0.475 + 0.025 = 0.5\) となる。
3. 本当に感染している確率を求める
この「全体」のうち、「本当に感染しているケース」の割合を計算すると、
\{\frac{0.475}{0.5} = \frac{475}{500} = 0.95\]
となる。
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