【統計検定準１級】2016年6月 選択問題及び部分記述問題 問2【解答例・解説】

解説

サイコロの目 1, 2, 3, 4 が出る確率を、それぞれ \(p_1, p_2, p_3, p_4\) とおく。

問題文の条件「\(P(X=1) = P(X=3)\)」「\(P(X=2) = P(X=4)\)」より、以下が成り立つ。

\[p_1 = p_3\]

\[p_2 = p_4\]

すべての確率の和は 1 であるため、次式が成り立つ。

\[p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\]

ここに先の条件を代入すると、

\[2p_1 + 2p_2 = 1 \quad \implies \quad p_1 + p_2 = \frac{1}{2} \quad \cdots \text{①}\]

次に、期待値 \(E[X] = \frac{8}{3}\) であるという条件を用いる。

\[E[X] = 1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 + 4 \cdot p_4 = \frac{8}{3}\]

ここにも \(p_1=p_3, p_2=p_4\) を代入して整理する。

\[1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_1 + 4 \cdot p_2 = \frac{8}{3}\]

\[4p_1 + 6p_2 = \frac{8}{3}\]

両辺を 2 で割ると、

\[2p_1 + 3p_2 = \frac{4}{3} \quad \cdots \text{②}\]

式①と式②を連立方程式として解く。式①より \(p_1 = \frac{1}{2} – p_2\) とし、式②に代入する。

\[2\left(\frac{1}{2} – p_2\right) + 3p_2 = \frac{4}{3}\]

\[1 – 2p_2 + 3p_2 = \frac{4}{3}\]

\[p_2 = \frac{1}{3}\]

これを式①に戻して \(p_1\) を求める。

\[p_1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]

以上により、確率分布は次のように決定する。

• \(P(X=1) = \frac{1}{6}\)
• \(P(X=2) = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}\)
• \(P(X=3) = \frac{1}{6}\)
• \(P(X=4) = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}\)

[1]

\begin{eqnarray}
E[X^2] &=& 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{2}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{2}{6} \\
&=& 1 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{2}{6} + 9 \cdot \frac{1}{6} + 16 \cdot \frac{2}{6} \\
&=& \frac{1 + 8 + 9 + 32}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \\
\end{eqnarray}

\(E[X] = \frac{8}{3}\) であるから、分散の公式より、

\begin{eqnarray}
V(X) &=& \frac{25}{3} – \left(\frac{8}{3}\right)^2\\
&=& \frac{25}{3} – \frac{64}{9} \\
&=& \frac{75}{9} – \frac{64}{9} = \frac{11}{9} \\
\end{eqnarray}

[2]

\(Y=3\) となるのは、2 回の出目の最大値が 3 になる場合であり、以下のいずれかのパターンに該当するときである。（1回目の出目を \(X_1\)、2回目を \(X_2\) とする）

• 両方とも 3 が出る：\((X_1, X_2) = (3, 3)\)
• 片方が 3 で、もう片方が 1 または 2 が出る：\((X_1, X_2) = (3, 1), (3, 2), (1, 3), (2, 3)\)

これらの事象は互いに排反（同時には起こらない）であるため、それぞれの確率を求めて足し合わせる。

• \((3, 3)\) の確率：\(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
• \((3, 1)\) の確率：\(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
• \((3, 2)\) の確率：\(\frac{1}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\)
• \((1, 3)\) の確率：\(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
• \((2, 3)\) の確率：\(\frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{36}\)

合計すると、

\[P(Y=3) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{7}{36}\]