【統計検定準１級】2016年6月選択問題及び部分記述問題問5【解答例・解説】

解説

帰無仮説 \(H_0\) が正しいと仮定すると、母比率 \(p = 0.4\) である。

このとき、標本比率 \(\hat{p}\) の平均と分散は以下のようになる。

平均：\(E(\hat{p}) = p = 0.4\)
分散：\(V(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0.4 \times (1 – 0.4)}{600} = \frac{0.24}{600} = 0.0004\)
標準偏差：\(\sigma = \sqrt{0.0004} = 0.02\)

よって、\(\hat{p}\) は近似的に正規分布 \(N(0.4, 0.02^2)\) に従う。

\(\hat{p}\) を標準化した変数 \(Z = \frac{\hat{p} – 0.4}{0.02}\) は、標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。

\(P(\hat{p} \ge c) = 0.05\) より、標準化すると、

\(P\left(Z \ge \frac{c – 0.4}{0.02}\right) = 0.05\)

となる。

標準正規分布の上側 5 %点は 1.645 であるため、

\[\frac{c – 0.4}{0.02} = 1.645\]

\[c = 0.4 + 1.645 \times 0.02 = 0.4 + 0.0329 = 0.4329\]

従って、正解は ③ である。

対立仮説 \(H_1\) が真であるとすると、母比率 \(p = 0.45\) である。

このとき、標本比率 \(\hat{p}\) の平均と分散は以下のようになる。

平均：\(E(\hat{p}) = 0.45\)
分散：\(V(\hat{p}) = \frac{0.45 \times (1 – 0.45)}{600} = \frac{0.2475}{600} = 0.0004125\)
標準偏差：\(\sigma = \sqrt{0.0004125} \approx 0.02031\)

よって、\(\hat{p}\) は近似的に正規分布 \(N(0.45, 0.02031^2)\) に従う。

検出力は、対立仮説が真であるときに \(\hat{p}\) が棄却域に入る確率 \(P(\hat{p} \ge c)\) である。

\[Z = \frac{\hat{p} – 0.45}{0.02031}\]

\[P(\hat{p} \ge 0.4329) = P\left(Z \ge \frac{0.4329 – 0.45}{0.02031}\right) = P\left(Z \ge \frac{-0.0171}{0.02031}\right) \approx P(Z \ge -0.842)\]

標準正規分布において、\(Z\) が -0.842 以上になる確率を考える。

対称性から \(P(Z \ge -0.842) = P(Z \le 0.842)\) であり、標準正規分布表より \(Z=0.84\) のときの下側確率（面積）は約 0.80 である。

従って、正解は ⑤ である。