解説
[1]
確率変数 \(T\) が \(t\) 以下となる確率を表す累積分布関数 \(F(t)\) は、全確率 1 から生存関数 \(S(t)\) を引くことで求められる。
\[F(t) = P(T \le t) = 1 – P(T > t) = 1 – S(t)\]
\[F(t) = 1 – \exp(-\lambda t)\]
確率密度関数 \(f(t)\) は、累積分布関数 \(F(t)\) を時間 \(t\) で微分することで得られる。
\[f(t) = \frac{d}{dt}F(t) = \frac{d}{dt}\left(1 – \exp(-\lambda t)\right)\]
\[f(t) = 0 – (-\lambda)\exp(-\lambda t) = \lambda \exp(-\lambda t)\]
時間は 0 以上であるため、 \(t < 0\) のときは \(f(t) = 0\) となる。
従って、正解は ④ である。
[2]
導出した確率密度関数 \(f(t) = \lambda \exp(-\lambda t)\) は、パラメータ \(\lambda\) の指数分布に従うことを示している。
平均（期待値）の計算
平均 \(E[T]\) は定義通りに積分を計算することで求められる（部分積分法を用いる）。
\[E[T] = \int_{0}^{\infty} t f(t) dt = \int_{0}^{\infty} t \lambda \exp(-\lambda t) dt\]
\[E[T] = \left[ t \left( -\exp(-\lambda t) \right) \right]_{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} 1 \cdot \left( -\exp(-\lambda t) \right) dt\]
第 1 項は \(t \to \infty\) のとき 0 に収束し、\(t=0\) のときも 0 になる。よって第 2 項のみを計算する。
\[E[T] = \left[ -\frac{1}{\lambda} \exp(-\lambda t) \right]_{0}^{\infty} = 0 – \left( -\frac{1}{\lambda} \right) = \frac{1}{\lambda}\]
中央値の計算
中央値 \(m\) は、累積分布関数 \(F(m) = 0.5\)、または生存関数 \(S(m) = 0.5\) となるような \(m\) の値である。
\[S(m) = \exp(-\lambda m) = \frac{1}{2}\]
両辺の自然対数（$\log$）をとる。
\[-\lambda m = \log\left(\frac{1}{2}\right)\]
ここで、\(\log(1/2) = \log(2^{-1}) = -\log 2\) であるため、
\[-\lambda m = -\log 2\]
\[m = \frac{\log 2}{\lambda}\]
従って、正解は ⑤ である。
[3]
標本から得られたデータの平均（標本平均）を用いて、未知のパラメータを推定する（モーメント法）。
標本平均は 2.0 年である。
\[\text{平均} = \frac{1}{\lambda} = 2.0\]
\[\text{中央値} = \frac{\log 2}{\lambda} = (\log 2) \times \left(\frac{1}{\lambda}\right)\]
\[\text{中央値} \approx 0.7 \times 2.0 = 1.4 \text{ (年)}\]
従って、正解は ② である。
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