【統計検定準１級】2015年6月選択問題及び部分記述問題問14【解答例・解説】

【統計検定準１級】2015年6月選択問題及び部分記述問題問13【解答例・解説】

解説一般に、ベータ分布は二項分布の共役事前分布であるから、\(n\) 回の思考で \(x\) 回成功した時の \(\theta\) の事後分布は、\begin{eqnarray}f(\theta | x) &\propto& {}_nC_x...

解説

[1]

\(N\) 組の乱数のうち、\(U^2+V^2<1\) となる組の個数 \(M\) は、二項分布 \(B(N, \pi/4)\) に従う。

\[E[M]=N\frac{\pi}{4}\]

\[V[M]=N\frac{\pi}{4}(1-\frac{\pi}{4})\]

より、

\[E[\hat{\pi}]=E[\frac{4M}{N}]=\frac{4}{N}E[M]=\frac{4}{N}\cdot N\frac{\pi}{4}=\pi\]

\[V[\hat{\pi}]=V[\frac{4M}{N}]=\frac{4^2}{N^2}V[M]=\frac{4^2}{N^2}\cdot N\frac{\pi}{4}(1-\frac{\pi}{4})=\frac{4}{N}\pi(1-\frac{\pi}{4})\]

とわかる。

従って、\(\hat{\pi}\) の標準偏差 \(SD[\hat{\pi}]\) は、

\[SD[\hat{\pi}]=\sqrt{V[\hat{\pi}]}=\sqrt{\frac{\pi(4-\pi)}{N}}\leq 0.01\]

となり、これを満たす \(N\) は、

\[N\geq\frac{\pi(4-\pi)}{0.01^2}\approx \frac{2.7}{0.0001=27000}\]

[2]

\begin{eqnarray}
V[\hat{\pi}] &=& V[4×\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\sqrt{1-U_i^2}]\\
&=& \frac{4^2}{n^2}\sum_{i=1}^nV[\sqrt{1-U_i^2}] \\
&=& \frac{4^2}{n^2}\sum_{i=1}^n{E[1-U_i^2]-(E[\sqrt{1-U_i^2}])^2} \\
&=& \frac{4^2}{n^2}\sum_{i=1}^n\left\{\int_0^1(1-u^2)du-\left(\frac{\pi}{4}\right)^2\right\} \\
&=& \frac{4^2}{n^2}\sum_{i=1}^n\left\{\left[u-\frac{1}{3}u^3\right]_0^1-\frac{\pi^2}{4^2}\right\} \\
&=& \frac{4^2}{n^2}\sum_{i=1}^n\left\{\left(1-\frac{1}{3}\right)-\frac{\pi^2}{4^2}\right\} \\
&=& \frac{4^2}{n^2}\sum_{i=1}^n\left\{\frac{2}{3}-\frac{\pi^2}{4^2}\right\} \\
&=& \frac{4^2}{n^2}\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi^2}{4^2}\right)n \\
&=& \frac{4^2}{n}\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi^2}{4^2}\right) \\
\end{eqnarray}

従って、\(\hat{\pi}\) の標準偏差 \(SD[\hat{\pi}]\) は、

\[SD[\hat{\pi}]=\sqrt{\frac{4^2}{n}\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi^2}{4^2}\right)}\leq 0.01\]

となり、これを満たす \(n\) は、

\[n\geq\frac{16×0.05}{0.01^2}\approx 8000\]

【統計検定準１級】2015年6月選択問題及び部分記述問題問15【解答例・解説】

解説自由度調整済み決定係数 \(\bar{R}^2\) は 1 に近い方が良く、\(F\) 値に対する \(P\) 値は 0 に近い方が良い。従って、モデル 3 が選択される。モデル 3 の式は、\であるから、\となる。