解説
[1]
マルコフ性について、「現在の \(S_n\) の値さえ分かれば、過去の経緯は無視して未来を予測できるか？」を考えます。
例えば、\(n=0\) で \(S_2=0\) とする。このとき、過去のルートによって以下の \(S_3\) の動きが変わる。
- ルートA：\(0 \to 1 \to -1\) と動いて \(S_2=0\) になった場合
このとき \(X_2 = -1\) なので、次は \(X_3 = 0\) か \(-2\) です。
従って、 \(S_3\) は \(0\) か \(-2\) になります。 - ルートB：\(0 \to -1 \to 1\) と動いて \(S_2=0\) になった場合
このとき \(X_2 = 1\) なので、次は \(X_3 = 0\) か \(2\) です。
従って、 \(S_3\) は \(0\) か \(2\) になります。
同じ \(S_2=0\) でも、過去の経緯（\(S_1\) が \(1\) だったか \(-1\) だったか）によって未来の分布が異なるため、マルコフ性はありません。
マルチンゲールについて、「一歩先の \(S_n\) の期待値は、現在の \(S_{n-1}\) と等しいか？」を考えます。
\[E[S_n | \text{過去}] = S_{n-1} + E[X_n | \text{過去}]\]
です。 ここで \(E[X_n | \text{過去}] = X_{n-1}\) ですが、これは常に \(0\) ではありません。
期待値が現在の値 \(S_{n-1}\) からズレてしまう（\(X_{n-1}\) だけ下振れ・上振れする）ため、マルチンゲールではありません。
[2]
マルコフ性について、「ペア \((X_n, S_n)\) が今どうなっているか」が分かれば、次が予測できるかを考えます。
- 次の一歩： \(X_{n+1} = X_n + \xi_{n+1}\)
- 次の累積： \(S_{n+1} = S_n + (X_n + \xi_{n+1})\)
この計算には、過去（\(n-1\) 以前）の情報は一切不要で、今の \(X_n\) と \(S_n\) さえあれば十分です。
従って、マルコフ性を持ちます。
マルチンゲールについて、ベクトルの期待値が \((X_{n-1}, S_{n-1})\) に戻るかを確認します。
第 2 成分の期待値は \(E[S_n | \text{過去}] = S_{n-1} + X_{n-1}\) となります。
これが \(S_{n-1}\) と等しくなるのは \(X_{n-1} = 0\) の時だけなので、マルチンゲールではありません。
[3]
\[T_n = T_{n-1} + (X_n – X_{n-1})T_{n-2}\]
この式自体が \(T_{n-1}\) だけでなく、\(T_{n-2}\)（一つ前の過去）を直接使って定義されています。
定義に「過去」が含まれているため、今の \(T_{n-1}\) だけでは未来を決められず、マルコフ性はありません。
期待値を計算してみると、
\[E[T_n | \text{過去}] = T_{n-1} + E[X_n – X_{n-1} | \text{過去}] \times T_{n-2}\]
ここで \(X_n – X_{n-1}\) は「ランダムウォークの増分」であり、その期待値は \(\pm 1\) の平均で \(0\) です。
すると、後半の部分が丸ごと消えて、
\[E[T_n | \text{過去}] = T_{n-1} + 0 \times T_{n-2} = T_{n-1}\]
となり、マルチンゲールである。
コメント