【統計検定準１級】2021年6月 論述問題 問2【解答例・解説】

解説

[1]

[1-1]

（A）と（B）

---

[1-2]

\(X=x_0\) が得られたときの二項分布の確率関数を \(p(X=x_0|n, \theta)\) とおくと、

\[p(X=x_0|n, \theta)={}_nC_{x_0}\theta^{x_0}(1-\theta)^{n-x_0}\]

よって、\(\theta\) の事後分布 \(f(\theta|x_0)\) は、

\begin{eqnarray}
f(\theta|x_0) &\propto& p(X=x_0|n, \theta)f(\theta|\alpha_0, \beta_0) \\
&=& {}_nC_{x_0}\theta^{x_0}(1-\theta)^{n-x_0} × \frac{1}{B(\alpha_0, \beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\beta_0-1} \\
&\propto& \theta^{x_0+\alpha_0-1}(1-\theta)^{n-x_0+\beta_0-1}\\
\end{eqnarray}

と書けるから、\(\alpha_1=x_0+\alpha_0, \beta_1=n-x_0+\beta_0\) と表せる。

---

[1-3]

事後密度関数を \(\theta\) で微分すると、

\begin{eqnarray}
\frac{\partial \log f(\theta | x_0)}{\partial \theta} &=& \frac{\partial}{\partial \theta} \left( (x_0 + \alpha_0 – 1) \log \theta + (n – x_0 + \beta_0 – 1) \log (1 – \theta) \right) \\
&=& \frac{x_0 + \alpha_0 – 1}{\theta} – \frac{n – x_0 + \beta_0 – 1}{1 – \theta} \\
&=& \frac{(x_0 + \alpha_0 – 1)(1 – \theta) – (n – x_0 + \beta_0 – 1)\theta}{\theta(1 – \theta)} \\
&=& \frac{(x_0 + \alpha_0 – 1) – (x_0 + \alpha_0 – 1 + n – x_0 + \beta_0 – 1)\theta}{\theta(1 – \theta)} \\
&=& \frac{(x_0 + \alpha_0 – 1) – (n + \alpha_0 + \beta_0 – 2)\theta}{\theta(1 – \theta)}
\end{eqnarray}

上記において、\(\frac{\partial \log f(\theta | x_0)}{\partial \theta}=0\) を解くと、

\begin{eqnarray}
\frac{\partial \log f(\theta | x_0)}{\partial \theta} &=& 0 \\
\frac{(x_0 + \alpha_0 – 1) – (n + \alpha_0 + \beta_0 – 2)\theta}{\theta(1 – \theta)} &= 0 \\ (x_0 + \alpha_0 – 1) – (n + \alpha_0 + \beta_0 – 2)\theta &=& 0 \\
(n + \alpha_0 + \beta_0 – 2)\theta &=& x_0 + \alpha_0 – 1 \\
\theta &=& \frac{x_0 + \alpha_0 – 1}{n + \alpha_0 + \beta_0 – 2}
\end{eqnarray}

となり、事後密度関数を最大にする \(\theta\) は \(\frac{x_0 + \alpha_0 – 1}{n + \alpha_0 + \beta_0 – 2} \) である。

[2]

[2-1]

観測値とパラメータの事前分布がどちらも正規分布のため、事後分布は正規分布に従う。

よって、（B）が正しい。

---

[2-2]

事後密度関数は、

\begin{eqnarray}
f(\mu \mid X_2 = 2.3, X_3 = 4.2, X_4 = 1.5) &\propto& \exp \left\{ -\frac{5}{8}\left(\mu – \frac{3}{5}\right)^2 – \frac{1}{8}(2.3 – \mu)^2 – \frac{1}{8}(4.2 – \mu)^2 – \frac{1}{8}(1.5 – \mu)^2 \right\} \\
&\propto& \exp \left\{ -\left(\mu – \frac{11}{8}\right)^2 \right\}
\end{eqnarray}

と書けるから、事後分布は \(N\left(\frac{11}{8}, \frac{1}{2}\right)\) である。