解説
[1]
データ \(y_i\) は「破損あり（1）」または「破損なし（0）」の 2 値をとる変数である。
このように、1回の試行で成功か失敗かのいずれか一方が起こる確率分布をベルヌーイ分布と呼ぶ。
数式では \(Bin(1, \pi_i)\) と表記される。これは「試行回数1、成功確率 \(\pi_i\) の二項分布」と同義である。
従って、正解は ① である。
[2]
ロジスティック回帰分析では、確率 \(\pi_i\) そのものではなく、そのロジット（対数オッズ）を線形結合でモデル化する。
\[\text{logit}(\pi_i) = \log \left( \frac{\pi_i}{1 – \pi_i} \right) = \alpha + \beta x_i\]
ここで、\(\alpha\) は切片（Intercept）、\(\beta\) は説明変数（Temperature）の係数である。
従って、正解は ① である。
[3]
出力結果（Coefficients）より、以下の推定値が得られている。
- 切片 \(\hat{\alpha} = 15.0429\0)
- 気温の係数 \(\hat{\beta} = -0.2322\)
破損確率 \(\pi_i = 0.5\) のとき、オッズ \(\frac{\pi_i}{1 – \pi_i}\) は \(\frac{0.5}{0.5} = 1\) となる。
このとき、対数オッズは \(\log(1) = 0\) である。[2] の式に代入すると、
\[0 = 15.0429 – 0.2322 \times x\]
これを \(x\) について解くと、
\[x = \frac{15.0429}{0.2322} \approx 64.784…\]
選択肢の中で最も近いのは ④ 64.8 である。
[4]
事故当日の気温 \(x = 31\) をモデルの式に代入し、対数オッズを計算する。
\[\log \left( \frac{\pi}{1 – \pi} \right) = 15.0429 – (0.2322 \times 31)\]
\[15.0429 – 7.1982 = 7.8447\]
次に、この対数オッズから確率 \(\pi\) を求める。
\[\frac{\pi}{1 – \pi} = e^{7.8447}\]
\[\pi = \frac{1}{1 + e^{-7.8447}}\]
\(e^7 \approx 1096$、$e^8 \approx 2980\) であることを考えると、\(e^{7.8447}\) は非常に大きな値（およそ 2550 程度）になる。
よって、\(\pi = \frac{2550}{1 + 2550} \approx 0.9996\) となり、破損確率は極めて高いことがわかる。
従って、正解は ⑤ 0.9996 である。
コメント