解説
[1]
調査で「内閣支持率が54%」とわかりました。
しかし、これは たまたま978人に聞いた結果 なので、母集団（1496人全体）の 真の支持率 \(p\) とはズレる可能性があります。
そこで、母集団の本当の支持率 \(p\) が入りそうな範囲 を「95%信頼区間」として求めます。
支持率は「支持 / 回答者数」という 割合（比率） なので、
- 標本比率：\(\hat{p}=0.54\)
- 母集団比率：\(p\)（未知）
を考えます。
比率の信頼区間の基本形は、
\[\hat{p}\pm z×SE\]
- \(z\)：正規分布の値（95%なら1.96）
- \(SE\)：標本比率 \(\hat{p}\) の標準誤差（ばらつきの大きさ）
したがって、
\[0.54\pm 1.96\sqrt{0.54×(1-0.54)/978}=0.54\pm 0.031=(0.509, 0.571)\]
[2]
区間幅が 2% となることから、
\[2×1.96\sqrt{0.5×(1-0.5)/n}=0.02\]
という等式を解くと、
\[n=(2×1.96×0.5/0.02)^2=9604\]
となる。
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