解説
[1]
自由度調整済み決定係数（\(\bar{R}^2\)）は、説明変数の数が多いほど決定係数（\(R^2\)）が大きくなりやすいという性質を補正した指標である。以下の公式で計算できる。
\[\bar{R}^2 = 1 – \frac{n-1}{n-k-1}(1 – R^2)\]
ここで、\(n\) はサンプルサイズ、\(k\) は説明変数の数である。
\[\bar{R}^2 = 1 – \frac{21-1}{21-1-1}(1 – 0.0372)\]
\[\bar{R}^2 = 1 – \frac{20}{19}(0.9628)\]
\[\bar{R}^2 \approx 1 – 1.0526 \times 0.9628\]
\[\bar{R}^2 \approx 1 – 1.0135 = -0.0135\]
従って、正解は ① である。
[2]
1. 自己相関係数の推定
ダービン・ワトソン統計量 \(DW\) と1次の自己相関係数 \(\hat{\rho}\) の間には、近似的に以下の関係が成り立つ。
\[DW \approx 2(1 – \hat{\rho})\]
\(DW = 2.98\) より、
\[2.98 \approx 2(1 – \hat{\rho})\]
\[1.49 \approx 1 – \hat{\rho}\]
\[\hat{\rho} \approx 1 – 1.49 = -0.49\]
従って、推定値 \(\hat{\rho}\) は約 -0.50 となる。
2. 残差の出力図の選択
求めた自己相関係数 \(\hat{\rho} \approx -0.50\) は、残差に負の自己相関があることを示している。
負の自己相関がある場合、ある期の残差が正であれば次の期の残差は負になりやすく、逆に負であれば次は正になりやすいという特徴を持つ。そのため、残差を時系列で折れ線グラフにすると、ゼロをまたいで激しく上下に振動するギザギザした形になる。
各図の特徴は以下の通りである。
- 図（ア）：波が緩やかで、正の値、負の値がそれぞれ連続する傾向がある。これは正の自己相関（\(\hat{\rho} > 0\)）の特徴である。
- 図（イ）：比較的ランダムに変動しているように見え、自己相関が弱い（\(\hat{\rho} \approx 0\)）状態に近い。
- 図（ウ）：隣り合う値が正負交互になりやすく、激しく上下に振動している。これが負の自己相関（\(\hat{\rho} < 0\)）の典型的な特徴である。
従って、正解は ⑤ である。
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