【統計検定準１級】2017年6月 選択問題及び部分記述問題 問6【解答例・解説】

解説

[1]

1. 必要な数値の確認

問題文の表から、以下の数値を読み取る。

• 有効回答数（標本サイズ）：\(n = 857\)
• イチロー選手が好きだと回答した割合（標本比率）：\(\hat{p} = 0.224\)

2. 95%信頼区間の公式

標本サイズが十分に大きい場合、母比率 \(p\) の 95 %信頼区間は以下の公式で求められる。

\[\left[ \hat{p} – 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \ \hat{p} + 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]\]

3. 計算

まず、ルートの中の標準誤差を計算する。

\[\sqrt{\frac{0.224 \times (1 – 0.224)}{857}} = \sqrt{\frac{0.224 \times 0.776}{857}} = \sqrt{\frac{0.173824}{857}} \approx \sqrt{0.0002028} \approx 0.01424\]

\[1.96 \times 0.01424 \approx 0.0279\]

標本比率 \(\hat{p}\) にこの値を足し引きして区間を求める。

• 下限：\(0.224 – 0.0279 = 0.1961\)
• 上限：\(0.224 + 0.0279 = 0.2519\)

よって、95 %信頼区間は約 \((0.196, 0.252)\) となる。

従って、正解は ② である。

[2]

1. 前提条件の確認

• イチロー選手の割合：\(\hat{p}_1 = 0.224\)
• 錦織圭選手の割合：\(\hat{p}_2 = 0.169\)
• 標本サイズ：\(n = 857\)

ここで重要なのは、「1回の調査の同一の標本（857人）」に対し、「好きな選手を1人だけ」選ばせているという点である。つまり、1人の回答者がイチロー選手と錦織圭選手を同時に選ぶことはない（排反である）。

このような同一標本における割合を比較する場合、片方が増えればもう片方が減るという「負の相関関係」があるため、完全に独立した2つの調査を比較するときの計算式は使えない。

2. 同一標本における比率の差の分散の公式

多項分布の性質から、同一標本における割合の差の分散 \(V(\hat{p}_1 – \hat{p}_2)\) の推定値は以下の式で表される。

\(V(\hat{p}_1 – \hat{p}_2) = \frac{\hat{p}_1 + \hat{p}_2 – (\hat{p}_1 – \hat{p}_2)^2}{n}\)

3. 計算

\[V(\hat{p}_1 – \hat{p}_2) = \frac{0.393 – 0.003025}{857} = \frac{0.389975}{857} \approx 0.0004550\]

求める標準偏差は、この分散の平方根である。

\[\sqrt{0.0004550} \approx 0.02133\]

従って、正解は ⑤ である。