解説
[1]
\[偏差値=z値×10+50=\frac{データ値-平均値}{標準偏差}×10+50\]
A君の \(z\) 値は、\((80-60)/20=1.0\)より、A君の偏差値は、
\[1.0×10+50=60\]
となる。
B君の \(z\) 値は、\((50-60)/20=-0.5\)より、B君の偏差値は、
\[-0.5×10+50=45\]
となる。
[2]
\(Z\sim N(0,1)\)とすると、
\[P(Z\leq 1.0)=0.8413\]
\[P(Z\leq -0.5)=0.3085\]
であるから、
\[P(-0.5\leq Z\leq 1.0)=0.8413-0.3085=0.5328\]
となる。
受験者は全部で 500人 なので、 \(500×0.5328\approx 266.4\) 人とわかる。
[3]
四分位範囲とは 第1四分位数から第3四分位数までの範囲 のことである。
\(N(0,1)\)の下側 25 %点はおおよそ -0.675 、上側 25 %点はおおよそ 0.675 であるから、
四分位範囲は \(0.675×2=1.35\) となる。
今回、テストの得点の標準偏差は 20 点であるから、四分位範囲は \(1.35×20=27\) 点とわかる。
[4]
\(Z\sim N(0,1)\)とすると、
\[E[Z|Z\geq 0]=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty ze^{-x^2/2}dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}[-e^{-x^2/2}]_0^\infty =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\approx 0.798\]
であるから、 60 点以上の受験者の平均点は \(0.798×20+60=75.96\) 点となる。
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